Cho 3 số a,b,c thỏa mãn :a^3+b^3+c^3=3abc (a,b,c khác 0) Tính :M=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a) 14/08/2021 Bởi Arianna Cho 3 số a,b,c thỏa mãn :a^3+b^3+c^3=3abc (a,b,c khác 0) Tính :M=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)
Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta có: a³+b³+c³=3abc ⇔ a³+b³+c³ -3abc=0 ⇔(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0 TH1: a+b+c=0 ⇔ +) a+b=-c +) b+c=-a +) c+a=-b M=(1+$\frac{a}{b}$). (1+$\frac{b}{c}$) .(1+$\frac{c}{a}$) M= ($\frac{a+b}{b}$) (.$\frac{b+c}{c}$).($\frac{c+a}{a}$ M=$\frac{-c}{b}$ $\frac{-a}{c}$$\frac{-b}{a}$ M=-1 TH2: a²+b²+c²-ab-bc-ca= 0 ⇔2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0 ⇔2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0 ⇔(a²-2ab+b²)+ (b²-2bc+c²) +(c²-2ac+a²) =0 ⇔(a-b)² +(b-c)² + (c-a)² =0 Do (a-b)² ;(b-c)² ; (c-a)² ≥0 ⇒ (a-b)² +(b-c)² + (c-a)² ≥0 mà (a-b)² +(b-c)² + (c-a)² =0 ⇒ (a-b)² ;(b-c)² ; (c-a)² =0 ⇔ +) (a-b)² =0 +) (b-c)² =0 +) (c-a)² =0 ⇔+) a-b=0 +) b-c =0 +) c-a =0 ⇔ +) a=b +) b=c +) c=a M=(1+$\frac{a}{b}$). (1+$\frac{b}{c}$) .(1+$\frac{c}{a}$) M=(1+1).(1+1).(1+1) M=2.2.2 M=8 Bình luận
Đáp án: $M = -1$ khi $a + b+ c =0$ $M = 8$ khi $ a +b + c \ne 0$ Giải thích các bước giải: $\begin{array}{l}a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\\ \Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 0\\ \Leftrightarrow (a+b)^3 – 3ab(a + b) + c^3 – 3abc=0\\ \Leftrightarrow [(a + b)^3 + c^3] – [3ab(a+b) + 3abc]=0\\ \Leftrightarrow (a+b+c)[(a + b)^2 – (a+b)c + c^2] – 3ab(a + b +c)=0\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 – ac – bc + c^2 – 3ab)=0\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab – bc -ac) =0\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a + b + c = 0\\a^2 + b^2 + c^2 -ab – bc -ac\end{array}\right.\\+) \quad a +b + c = 0\\\Rightarrow \begin{cases}a +b = -c\\b+c = -a\\c + a =-b\end{cases}\\\Rightarrow M = \left(1 + \dfrac{a}{b}\right)\cdot \left(1 + \dfrac{b}{c}\right)\cdot \left(1 + \dfrac{c}{a}\right)\\\Rightarrow M = \dfrac{a+b}{b}\cdot\dfrac{b+c}{c}\cdot\dfrac{c+a}{a}\\\Rightarrow M = \dfrac{-c}{b}\cdot\dfrac{-a}{c}\cdot\dfrac{-b}{a}\\\Rightarrow M = -1\cdot(-1)\cdot(-1) = -1\\+) \quad a^2 + b^2 + c^2 -ab – bc -ac \\ \Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 +2c^2 – 2ab -2ac -2bc = 0\\ \Leftrightarrow (a -b)^2 + (b -c)^2 + (c -a)^2 = 0\\ Do\,\,\begin{cases}(a -b)^2\geq 0, \forall a,b\\(b-c)^2 \geq 0, \forall b,c\\ (c-a)^2 \geq 0, \forall c,a\end{cases}\\ nên\,\,\,(a -b)^2 + (b -c)^2 + (c -a)^2 = 0\\ \Leftrightarrow \begin{cases}a-b = 0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow a=b=c\\ \text{Do đó, ta được:}\\ M = \left(1 + \dfrac{a}{b}\right)\cdot \left(1 + \dfrac{b}{c}\right)\cdot \left(1 + \dfrac{c}{a}\right)\\ = (1 +1)(1 + 1)(1 +1) =8 \end{array}$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
a³+b³+c³=3abc
⇔ a³+b³+c³ -3abc=0
⇔(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0
TH1: a+b+c=0
⇔ +) a+b=-c
+) b+c=-a
+) c+a=-b
M=(1+$\frac{a}{b}$). (1+$\frac{b}{c}$) .(1+$\frac{c}{a}$)
M= ($\frac{a+b}{b}$) (.$\frac{b+c}{c}$).($\frac{c+a}{a}$
M=$\frac{-c}{b}$ $\frac{-a}{c}$$\frac{-b}{a}$
M=-1
TH2: a²+b²+c²-ab-bc-ca= 0
⇔2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0
⇔2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0
⇔(a²-2ab+b²)+ (b²-2bc+c²) +(c²-2ac+a²) =0
⇔(a-b)² +(b-c)² + (c-a)² =0
Do (a-b)² ;(b-c)² ; (c-a)² ≥0
⇒ (a-b)² +(b-c)² + (c-a)² ≥0
mà (a-b)² +(b-c)² + (c-a)² =0
⇒ (a-b)² ;(b-c)² ; (c-a)² =0
⇔ +) (a-b)² =0
+) (b-c)² =0
+) (c-a)² =0
⇔+) a-b=0
+) b-c =0
+) c-a =0
⇔ +) a=b
+) b=c
+) c=a
M=(1+$\frac{a}{b}$). (1+$\frac{b}{c}$) .(1+$\frac{c}{a}$)
M=(1+1).(1+1).(1+1)
M=2.2.2
M=8
Đáp án:
$M = -1$ khi $a + b+ c =0$
$M = 8$ khi $ a +b + c \ne 0$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\\ \Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 0\\ \Leftrightarrow (a+b)^3 – 3ab(a + b) + c^3 – 3abc=0\\ \Leftrightarrow [(a + b)^3 + c^3] – [3ab(a+b) + 3abc]=0\\ \Leftrightarrow (a+b+c)[(a + b)^2 – (a+b)c + c^2] – 3ab(a + b +c)=0\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 – ac – bc + c^2 – 3ab)=0\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab – bc -ac) =0\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a + b + c = 0\\a^2 + b^2 + c^2 -ab – bc -ac\end{array}\right.\\+) \quad a +b + c = 0\\\Rightarrow \begin{cases}a +b = -c\\b+c = -a\\c + a =-b\end{cases}\\\Rightarrow M = \left(1 + \dfrac{a}{b}\right)\cdot \left(1 + \dfrac{b}{c}\right)\cdot \left(1 + \dfrac{c}{a}\right)\\\Rightarrow M = \dfrac{a+b}{b}\cdot\dfrac{b+c}{c}\cdot\dfrac{c+a}{a}\\\Rightarrow M = \dfrac{-c}{b}\cdot\dfrac{-a}{c}\cdot\dfrac{-b}{a}\\\Rightarrow M = -1\cdot(-1)\cdot(-1) = -1\\+) \quad a^2 + b^2 + c^2 -ab – bc -ac \\ \Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 +2c^2 – 2ab -2ac -2bc = 0\\ \Leftrightarrow (a -b)^2 + (b -c)^2 + (c -a)^2 = 0\\ Do\,\,\begin{cases}(a -b)^2\geq 0, \forall a,b\\(b-c)^2 \geq 0, \forall b,c\\ (c-a)^2 \geq 0, \forall c,a\end{cases}\\ nên\,\,\,(a -b)^2 + (b -c)^2 + (c -a)^2 = 0\\ \Leftrightarrow \begin{cases}a-b = 0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow a=b=c\\ \text{Do đó, ta được:}\\ M = \left(1 + \dfrac{a}{b}\right)\cdot \left(1 + \dfrac{b}{c}\right)\cdot \left(1 + \dfrac{c}{a}\right)\\ = (1 +1)(1 + 1)(1 +1) =8 \end{array}$