Cho 3 số dương $a,b,c$ có tích bằng $1$ CMR: $(a+1)(b+1)(c+1)≥8$’ *KHÔNG DÙNG BĐT COSI

0 bình luận về “Cho 3 số dương $a,b,c$ có tích bằng $1$ CMR: $(a+1)(b+1)(c+1)≥8$’ *KHÔNG DÙNG BĐT COSI”

1. • htkbaam
   • 15:28

   (a+1)(b+1)(c+1)(a+1)(b+1)(c+1)

   ⇒(a+1)2(b+1)2(c+1)2(⋅)⇒(a+1)2(b+1)2(c+1)2(⋅)

   Ta có (a−1)2≥0(a-1)2≥0

   ⇒a2−2a+1≥0⇒a2-2a+1≥0

   ⇒a2+2a+1≥4a⇒a2+2a+1≥4a

   ⇒(a+1)2≥4a⇒(a+1)2≥4a

   Tương tự: (b+1)2≥4b;(c+1)2≥4c(b+1)2≥4b;(c+1)2≥4c

   Thay vào (⋅)(⋅) ta có:

   (a+1)2(b+1)2(c+1)2≥4a.4b.4c=64abc=64((a+1)2(b+1)2(c+1)2≥4a.4b.4c=64abc=64(Vì abc=1)abc=1)

   ⇒(a+1)(b+1)(c+1)≥8⇒(a+1)(b+1)(c+1)≥8 (a,b,c∈N)(a,b,c∈N)

   ⇒Đpcm

    

   Bình luận

2. `(a+1)(b+1)(c+1)≥8`

   `⇔abc+ab+ac+bc+a+b+c+1≥8`

   `⇔ab+ac+bc+a+b+c≥6`

   `⇔(ab-abc)+(bc-abc)+(ac-abc)+(a-abc)+(b-abc)+(c-abc)≥0`

   `⇔ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)+a(1-bc)+b(1-ac)+c(1-bc)≥0` điều hiển nhiên 

   `⇒(a+1)(b+1)(c+1)≥8`

   Bình luận