Cho 3 số dương $a,b,c$ có tích bằng $1$ CMR: $(a+1)(b+1)(c+1)≥8$ *KHÔNG DÙNG BĐT COSI 20/08/2021 Bởi Charlie Cho 3 số dương $a,b,c$ có tích bằng $1$ CMR: $(a+1)(b+1)(c+1)≥8$ *KHÔNG DÙNG BĐT COSI
`(a+1)(b+1)(c+1)` `⇒(a+1)^2 (b+1)^2 (c+1)^2 (*)` Ta có `(a-1)^2≥0` `⇒a^2-2a+1≥0` `⇒a^2+2a+1≥4a` `⇒(a+1)^2≥4a` Tương tự: `(b+1)^2≥4b ; (c+1)^2≥4c` Thay vào `(*)` ta có: `(a+1)^2 (b+1)^2 (c+1)^2≥4a.4b.4c=64abc=64 (`Vì `abc=1)` `⇒(a+1)(b+1)(c+1)≥8` `(a,b,c∈N)` `⇒Đpcm` Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: Cách khác: Chứng minh BĐT phụ `a+b>=2\sqrt{ab}` `<=>a+b-2\sqrt{ab}>=0` `<=>(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 – 2\sqrt{ab}>=0` `<=>(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>=0` `=>đ.p.c.m` Dấu `=` xảy ra `<=>a=b` Ta có `(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1` `=2+ab+ac+bc+a+b+c` `=2+1/c +1/b +1/a +a+b+c` `=2+(a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)` Áp dụng BĐT vừa chứng minh `=>a+1/a >=2\sqrt{a.\frac{1}{a}}` `=>a +1/a>=2` Chứng minh tương tự `=>b+1/b>=2,c+1/c>=2` `=>2+(a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)>=2+2+2+2=8` `=>(a+1)(b+1)(c+1)>=8` Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1` Bình luận
`(a+1)(b+1)(c+1)`
`⇒(a+1)^2 (b+1)^2 (c+1)^2 (*)`
Ta có `(a-1)^2≥0`
`⇒a^2-2a+1≥0`
`⇒a^2+2a+1≥4a`
`⇒(a+1)^2≥4a`
Tương tự: `(b+1)^2≥4b ; (c+1)^2≥4c`
Thay vào `(*)` ta có:
`(a+1)^2 (b+1)^2 (c+1)^2≥4a.4b.4c=64abc=64 (`Vì `abc=1)`
`⇒(a+1)(b+1)(c+1)≥8` `(a,b,c∈N)`
`⇒Đpcm`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Cách khác:
Chứng minh BĐT phụ
`a+b>=2\sqrt{ab}`
`<=>a+b-2\sqrt{ab}>=0`
`<=>(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 – 2\sqrt{ab}>=0`
`<=>(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>=0`
`=>đ.p.c.m`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b`
Ta có
`(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1`
`=2+ab+ac+bc+a+b+c`
`=2+1/c +1/b +1/a +a+b+c`
`=2+(a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)`
Áp dụng BĐT vừa chứng minh
`=>a+1/a >=2\sqrt{a.\frac{1}{a}}`
`=>a +1/a>=2`
Chứng minh tương tự
`=>b+1/b>=2,c+1/c>=2`
`=>2+(a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)>=2+2+2+2=8`
`=>(a+1)(b+1)(c+1)>=8`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1`