cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. chứng minh rằng √ (1-a)+ √(1-b)+ √(1-c) ≤ √6

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. chứng minh rằng √ (1-a)+ √(1-b)+ √(1-c) ≤ √6

0 bình luận về “cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. chứng minh rằng √ (1-a)+ √(1-b)+ √(1-c) ≤ √6”

  1. Giải thích các bước giải:

    Áp dụng BĐT Cô – si ta có:

    \(\begin{array}{l}
    \left( {1 – a} \right) + \frac{2}{3} \ge 2\sqrt {\left( {1 – a} \right).\frac{2}{3}}  = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\sqrt {1 – a} \\
    \left( {1 – b} \right) + \frac{2}{3} \ge 2\sqrt {\left( {1 – b} \right).\frac{2}{3}}  = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\sqrt {1 – b} \\
    \left( {1 – c} \right) + \frac{2}{3} \ge 2\sqrt {\left( {1 – c} \right).\frac{2}{3}}  = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\sqrt {1 – c} \\
     \Rightarrow \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {\sqrt {1 – a}  + \sqrt {1 – b}  + \sqrt {1 – c} } \right) \le \left( {1 – a} \right) + \frac{2}{3} + \left( {1 – b} \right) + \frac{2}{3} + \left( {1 – c} \right) + \frac{2}{3}\\
     \Rightarrow \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {\sqrt {1 – a}  + \sqrt {1 – b}  + \sqrt {1 – c} } \right) \le 5 – \left( {a + b + c} \right)\\
     \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {\sqrt {1 – a}  + \sqrt {1 – b}  + \sqrt {1 – c} } \right) \le 4\\
     \Leftrightarrow \sqrt {1 – a}  + \sqrt {1 – b}  + \sqrt {1 – c}  \le \sqrt 6 
    \end{array}\)

    Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\)

    Bình luận

Viết một bình luận