cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. chứng minh rằng √ (1-a)+ √(1-b)+ √(1-c) ≤ √6 12/07/2021 Bởi Delilah cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. chứng minh rằng √ (1-a)+ √(1-b)+ √(1-c) ≤ √6
Giải thích các bước giải: Áp dụng BĐT Cô – si ta có: \(\begin{array}{l}\left( {1 – a} \right) + \frac{2}{3} \ge 2\sqrt {\left( {1 – a} \right).\frac{2}{3}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\sqrt {1 – a} \\\left( {1 – b} \right) + \frac{2}{3} \ge 2\sqrt {\left( {1 – b} \right).\frac{2}{3}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\sqrt {1 – b} \\\left( {1 – c} \right) + \frac{2}{3} \ge 2\sqrt {\left( {1 – c} \right).\frac{2}{3}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\sqrt {1 – c} \\ \Rightarrow \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {\sqrt {1 – a} + \sqrt {1 – b} + \sqrt {1 – c} } \right) \le \left( {1 – a} \right) + \frac{2}{3} + \left( {1 – b} \right) + \frac{2}{3} + \left( {1 – c} \right) + \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {\sqrt {1 – a} + \sqrt {1 – b} + \sqrt {1 – c} } \right) \le 5 – \left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {\sqrt {1 – a} + \sqrt {1 – b} + \sqrt {1 – c} } \right) \le 4\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 – a} + \sqrt {1 – b} + \sqrt {1 – c} \le \sqrt 6 \end{array}\) Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\) Bình luận
Đáp án:áp dụng bđt cô si học từ lớp 8 nha
Giải thích các bước giải:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT Cô – si ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {1 – a} \right) + \frac{2}{3} \ge 2\sqrt {\left( {1 – a} \right).\frac{2}{3}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\sqrt {1 – a} \\
\left( {1 – b} \right) + \frac{2}{3} \ge 2\sqrt {\left( {1 – b} \right).\frac{2}{3}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\sqrt {1 – b} \\
\left( {1 – c} \right) + \frac{2}{3} \ge 2\sqrt {\left( {1 – c} \right).\frac{2}{3}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\sqrt {1 – c} \\
\Rightarrow \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {\sqrt {1 – a} + \sqrt {1 – b} + \sqrt {1 – c} } \right) \le \left( {1 – a} \right) + \frac{2}{3} + \left( {1 – b} \right) + \frac{2}{3} + \left( {1 – c} \right) + \frac{2}{3}\\
\Rightarrow \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {\sqrt {1 – a} + \sqrt {1 – b} + \sqrt {1 – c} } \right) \le 5 – \left( {a + b + c} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {\sqrt {1 – a} + \sqrt {1 – b} + \sqrt {1 – c} } \right) \le 4\\
\Leftrightarrow \sqrt {1 – a} + \sqrt {1 – b} + \sqrt {1 – c} \le \sqrt 6
\end{array}\)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\)