cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ phương trình
a ²+ab+$\frac{b ²}{3}$ =25(1)
$\frac{b ²}{3}$+c ²=9(2)
c ²+ac+a ²=16(3)
tính giá trị của biểu thức P=ab+2bc+3ac
gợi ý (2)+(3)=(1)
⇔2.c ²=a(b-c)
chứng minh p ²= 12.($\frac{b ²}{3}$+c ²)(c ²+ac+a ²)
cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ phương trình a ²+ab+$\frac{b ²}{3}$ =25(1) $\frac{b ²}{3}$+c ²=9(2) c ²+ac+a ²=16(3) tính giá trị của biểu thức P=ab
By Savannah
Đáp án: `P=24sqrt3`
Giải thích các bước giải:
Viết lại hệ phương trình `:` $\begin{cases}a^2+ab+\dfrac{b^2}{3}=25(1)\\\dfrac{b^2}{3}+c^2=9 (2)\\c^2+ac+a^2=16(3)\end{cases}$
Theo gọi ý `:` Cộng hai phương trình `(2)` và `(3)` được trình `(1)`
`=>` `(2)+(3)=1`
`=>` `2c^2=(b-c)`
Ta xét giá trị của `12.(b^2/3+c^2)(c^2+ac+a^2).`
`12.(b^2/3+c^2)(c^2+ac+a^2)`
`=4b^2c^2+12c^4+4ab^2c+12ac^3+4a^2b^2+12a^2c^2`
`=4b^2c^2+6c^2.a(b-c)+4ab^2c+6a^2c(b-c)+4a^2b^2+12a^2c^2`
`=(a^2b^2+4b^2c^2+9a^2c^2+4ab^2c+12abc^2+6a^2bc)+(3a^2b^2-3a^2c^2-6abc^2-6ac^3)`
`=P^2+3a(b+c).2c^2-6ac^2(b+c)`
`=P^2+0`
`=P^2`
Từ đó suy ra `P^2=12.9.16=1728`
`=>` `P=sqrt(P^2)=sqrt1728=24sqrt3`
Vậy `P` có giá trị là `24sqrt3`
Đáp án:
`P=24\sqrt{3}`
Giải thích các bước giải:
$\begin{cases}a^2+ab+\dfrac{b^2}{3}+25(1)\\\dfrac{b^2}{3}+c^2=9 (2)\\c^2+ac+a^2=16(3)\end{cases}$
Cộng từng vế $(2),(3)$ ta được:
$a^2+\dfrac{b^2}{3}+2c^2+ac=25=a^2+ab+\dfrac{b^2}{3}$
$⇔ 2c^2=ab-ac$
$⇔ 2c^2=a(b-c)$
Xét `12.(b^2/3+c^2)(c^2+ac+a^2)`
`=4b^2c^2+12c^4+4ab^2c+12ac^3+4a^2b^2+12a^2c^2`
`=4b^2c^2+6c^2.2c^2+4ab^2c+6ac.2c^2+4a^2b^2+12a^2c^2`
`=4b^2c^2+6c^2.a(b-c)+4ab^2c+6a^2c(b-c)+4a^2b^2+12a^2c^2`
`=4b^2c^2+6abc^2-6ac^3+4ab^2c+6a62bc-6a^2c^2+4a^2b^2+12a^2c^2`
`=(a^2b^2+4b^2c^2+9a^2c^2+4ab^2c+12abc^2+6a^2bc)+(3a^2b^2-3a^2c^2-6abc^2-6ac^3)`
`=(ab+2bc+3ac)^2+3a^2(b^2-c^2)-6ac^2(b+c)`
`=P^2+3a^2(b-c)(b+c)-6ac^2(b+c)`
`=P^2+3a(b+c).2c^2-6ac^2(b+c)`
`=P^2`
Như vậy `P^2=12.9.16=1728`
`⇔ P=24\sqrt{3}` (do P>0)