cho 3 số nguyên a,b,c . Cmr nếu $a^{3}$ +$b^{3}$ +$c^{3}$ chia hết cho 3 thì abc chia hết cho 3

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$a^3 + b^3 +c^3$ = (a + b + c).($a^2 + b^2 + c^2 – ab -ac -bc) + 3abc$

= (a + b + c).($a^2 + b^2 + c^2 +2ab + 2ac + 2bc – 3ab -3ac -3bc) + 3abc$

= (a + b + c).[$(a+b+c)^2 – 3(ab + bc + ac)] + 3abc$

Vì $a^3 + b^3 +c^3$ chia hết cho 3 và 3abc chia hết cho 3 nên:

(a + b + c).[$(a+b+c)^2 – 3(ab + bc + ac)]$ chia hết cho 3

⇒ Ít nhất (a + b + c) hoặc [$(a+b+c)^2 – 3(ab + bc + ac)]$ chia hết cho 3 hoặc cả hai đều chia hết cho 3

* Nếu cả 2 chia hết cho 3 thì (a+b+c) chia hết cho 3 (đpcm)

* Nếu (a+b+c) chia hết cho 3 thì ta có đpcm

* Nếu [$(a+b+c)^2 – 3(ab + bc + ac)] chia hết cho 3 ⇔ $(a+b+c)^2$ chia hết cho 3

⇒ (a+b+c) chia hết cho 3 (đpcm)