Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng `1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)≤1/2`

0 bình luận về “Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng `1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)≤1/2`”

1. Ta có: $a^2+2b^2+3=a^2+b^2+b^2+1+2$

   Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được:

   $a^2+b^2≥2ab;b^2+1≥2b$

   $⇒a^2+b^2+b^2+1≥2ab+2b$

   $⇒a^2+b^2+b^2+1+2≥2ab+2b+2=2(ab+b+1)$

   Hay $a^2+2b^2+3≥2(ab+b+1)$

   $⇒\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}≤\dfrac{1}{2(ab+b+1)}$

   Chứng minh tương tự ta có:

   $\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}≤\dfrac{1}{2(bc+c+1)}$

   $\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}≤\dfrac{1}{2(ca+a+1)}$

   $⇒\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}≤\dfrac{1}{2(ab+b+1)}+\dfrac{1}{2(bc+c+1)}+\dfrac{1}{2(ca+a+1)}=\dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{(ab+b+1)}+\dfrac{1}{(bc+c+1)}+\dfrac{1}{(ca+a+1)})$

   Ta có: $\dfrac{1}{(ab+b+1)}+\dfrac{1}{(bc+c+1)}+\dfrac{1}{(ca+a+1)}$

   $=\dfrac{abc}{b(a+1+ac)}+\dfrac{abc}{c(b+1+ab)}+\dfrac{1}{ca+a+1}$

   $=\dfrac{ac}{ac+a+1}+\dfrac{ab}{b(a+ac+1)}+\dfrac{1}{ac+a+1}$

   $=\dfrac{ac+a+1}{ac+a+1}=1$

   Nên $\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}≤\dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{(ab+b+1)}+\dfrac{1}{(bc+c+1)}+\dfrac{1}{(ca+a+1)})=\dfrac{1}{2}$

   Trả lời

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:
   Ta có:  a^2 + 2b^2 + 3= (a^2+b^2) + (b^2+1) + 2 >= 2ab+2b+2= 2(ab+b+1)
   ( vì a^2+b^2>=2ab, b^2+1>=2b)
   => 1/(a^2+2b^2+3) <= 1/2(ab+b+1)
   tương tự với 2 cái còn lại
   => PT <= 1/2*(1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ca+a+1)
   thay abc =1 vào 
   => chứng minh đc PT<= 1/2*(ab+b+1/ab+b+1)=1/2*1=1/2

   Trả lời