Cho 3 số thực dương a,b,c và abc=1 Tìm MinA=(a+b)(b+c)(c+a)-4(a+b+c)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Đặt $B=(a+b)(b+c)(c+a)$

$B=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

$B=\dfrac{1}{3}(a+b+c)(ab+bc+ca)+\dfrac{1}{3}(a+b+c)(ab+bc+ca)+\dfrac{1}{3}(a+b+c)(ab+bc+ca)+3-4$

$B \geq 4\sqrt[4]{\dfrac{1}{3^3}.(a+b+c)^3(ab+bc+ca)^3.3}-4$

Mà $(ab+bc+ca)^3=(ab+bc+ca)^2(ab+bc+ca) \geq 3abc(a+b+c).3\sqrt[3]{ab.bc.ca}$

$\Rightarrow (ab+bc+ca)^3 \geq 9abc(a+b+c)=9(a+b+c)$

$\Rightarrow B \geq 4\sqrt[4]{(a+b+c)^4}-4=4(a+b+c)-4$

$\Rightarrow A \geq 4(a+b+c)-4-4(a+b+c)=-4$

$A_{min}=-4$ khi $a=b=c=1$