Cho 3 số thực không âm thỏa mãn `ab+bc+ca=1`. Tìm min của biểu thức: `P=(a^2+b^2+c^2+3)/(a+b+c-abc)` 27/09/2021 Bởi Maya Cho 3 số thực không âm thỏa mãn `ab+bc+ca=1`. Tìm min của biểu thức: `P=(a^2+b^2+c^2+3)/(a+b+c-abc)`
Đáp án: Ta có `∑a^2 + 3 = ∑a^2 + 3∑ab = ∑((a + b)(b + c))` `∑a – abc = (∑ab)(∑a) – abc = (a + b)(b + c)(c + a)` Do đó : `B = (∑a^2 + 3)/(∑a – abc) = (∑((a + b)(b + c)))/((a + b)(b + c)(c + a)) = ∑1/(a + b)` Không mất tính tổng quát giả sử `c = max{a,b,c}` `-> (a + b)^2 = (a + b)(a + b) ≤ (c + c)(a + b) = 2c(a + b) ≤ 2∑ab = 2` `-> a + b < 2` Dễ dàng cm được `1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) <=> ∑ab = 1` `1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) = (a + b) – [b^2(a + b)]/(b^2 + 1) ≥ (a + b) – [b^2(a + b)]/(2b) = (a+ b) – [b(a+ b)]/2` tương tự `-> 1/(a + c) ≥ (a + b) – [a(a + b)]/2` `-> B = ∑1/(a + b) ≥ 1/(a + b) + 2(a + b) – [a(a + b) + b(a + b)]/2 = 1/(a+ b) + [(a + b)(4 – a – b)]/2` Đặt `a + b = x (x < 2)` , ta có `B = 1/x + (x(4 – x))/2 = [(x – 1)^2(2 – x)]/(2x) + 5/2 ≥ 5/2` Dấu “=” xảy ra `<=> (a,b,c)` là hoán vị của `(0,1,1)` Vậy `…` Giải thích các bước giải: Bình luận
Đáp án: `P=\frac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}>=5/2` Giải thích các bước giải: Đặt: `a+b+c=p` `ab+bc+ca=q` `abc=r` Ta có: `\frac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}=\frac{p^2+1}{p-r}` `+)` Xét `p>=2` Ta có: `\frac{p^2+1}{p-r}-5/2>=\frac{p^2+1}{p}>=5/2=\frac{(2p-1)(p-2)}{2p}>=0` `=>P>=5/2` `+)` Xét `p<2` `=>r>=\frac{4q-p^2}{9}=\frac{1}{9}p(2-p)(p+2)` Áp dụng bất đẳng thức Schur, ta có: `\frac{p^2+1}{p-r}-5/2>=\frac{(2-p)(5p^2-8p+9)}{2p(p^2+5)}` `=\frac{(2-p)[5(p-4/5)^2+29/5]}{2p(p^2+5)}>0` `=>P>5/2` Vậy `P>=5/2` Đẳng thức xảy ra khi `a=b=1` `;` `c=0` và các hoán vị Bình luận
Đáp án:
Ta có
`∑a^2 + 3 = ∑a^2 + 3∑ab = ∑((a + b)(b + c))`
`∑a – abc = (∑ab)(∑a) – abc = (a + b)(b + c)(c + a)`
Do đó :
`B = (∑a^2 + 3)/(∑a – abc) = (∑((a + b)(b + c)))/((a + b)(b + c)(c + a)) = ∑1/(a + b)`
Không mất tính tổng quát giả sử `c = max{a,b,c}`
`-> (a + b)^2 = (a + b)(a + b) ≤ (c + c)(a + b) = 2c(a + b) ≤ 2∑ab = 2`
`-> a + b < 2`
Dễ dàng cm được `1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) <=> ∑ab = 1`
`1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) = (a + b) – [b^2(a + b)]/(b^2 + 1) ≥ (a + b) – [b^2(a + b)]/(2b) = (a+ b) – [b(a+ b)]/2`
tương tự `-> 1/(a + c) ≥ (a + b) – [a(a + b)]/2`
`-> B = ∑1/(a + b) ≥ 1/(a + b) + 2(a + b) – [a(a + b) + b(a + b)]/2 = 1/(a+ b) + [(a + b)(4 – a – b)]/2`
Đặt `a + b = x (x < 2)` , ta có
`B = 1/x + (x(4 – x))/2 = [(x – 1)^2(2 – x)]/(2x) + 5/2 ≥ 5/2`
Dấu “=” xảy ra `<=> (a,b,c)` là hoán vị của `(0,1,1)`
Vậy `…`
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
`P=\frac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}>=5/2`
Giải thích các bước giải:
Đặt: `a+b+c=p`
`ab+bc+ca=q`
`abc=r`
Ta có:
`\frac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}=\frac{p^2+1}{p-r}`
`+)` Xét `p>=2`
Ta có:
`\frac{p^2+1}{p-r}-5/2>=\frac{p^2+1}{p}>=5/2=\frac{(2p-1)(p-2)}{2p}>=0`
`=>P>=5/2`
`+)` Xét `p<2`
`=>r>=\frac{4q-p^2}{9}=\frac{1}{9}p(2-p)(p+2)`
Áp dụng bất đẳng thức Schur, ta có:
`\frac{p^2+1}{p-r}-5/2>=\frac{(2-p)(5p^2-8p+9)}{2p(p^2+5)}`
`=\frac{(2-p)[5(p-4/5)^2+29/5]}{2p(p^2+5)}>0`
`=>P>5/2`
Vậy `P>=5/2`
Đẳng thức xảy ra khi `a=b=1` `;` `c=0` và các hoán vị