cho 4 số a,b,c,d lập thành cấp số nhân chứng minh rằng (ab+bc+cd)^2=(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)

Giải thích các bước giải:

 a, b, c, d lập thành cấp số nhân nên:  \(\left\{ \begin{array}{l}
b = aq\\
c = a{q^2}\\
d = a{q^3}
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\\
 = \left( {{a^2} + {{\left( {aq} \right)}^2} + {{\left( {a{q^2}} \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {aq} \right)}^2} + {{\left( {a{q^2}} \right)}^2} + {{\left( {a{q^3}} \right)}^2}} \right)\\
 = \left( {{a^2} + {a^2}{q^2} + {a^2}{q^4}} \right)\left( {{a^2}{q^2} + {a^2}{q^4} + {a^2}{q^6}} \right)\\
 = {a^2}\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right).{a^2}{q^2}\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right)\\
 = {a^4}{q^2}{\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right)^2}\\
 = {\left( {{a^2}q} \right)^2}{\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right)^2}\\
 = {\left( {{a^2}q + {a^2}{q^3} + {a^2}{q^5}} \right)^2}\\
 = {\left( {a.aq + aq.a{q^2} + a{q^2}.a{q^3}} \right)^2}\\
 = {\left( {ab + bc + cd} \right)^2}
\end{array}\)