Cho 4 số a,b,x,y thỏa mãn ab=1 và ax+by=2. C/m xy ≤ 1?

0 bình luận về “Cho 4 số a,b,x,y thỏa mãn ab=1 và ax+by=2. C/m xy ≤ 1?”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   $ax + by = 2 \Leftrightarrow {\left( {ax + by} \right)^2} = 4\left( 1 \right)$

   Lại có:

   $\begin{array}{l}
   {\left( {m – n} \right)^2} \ge 0,\forall m,n\\
    \Rightarrow {m^2} + {n^2} \ge 2mn\\
    \Rightarrow {\left( {m + n} \right)^2} \ge 4mn (2)
   \end{array}$

   Áp dụng $(2)$ với $m = ax;n = by$ và từ (1) ta có: 

   $\begin{array}{l}
   {\left( {ax + by} \right)^2} \ge 4ax.by = 4xy\\
    \Leftrightarrow 4 \ge 4xy\\
    \Leftrightarrow xy \le 1
   \end{array}$

   Dấu bằng xảy ra: $ \Leftrightarrow ax = by$

   Ta có ĐPCM

   Bình luận