Cho 5 số dương đôi một khác nhau sao cho mỗi số không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.
(Đề thi vòng 2, THPT Chuyên Đại học Sư Phạm, năm học 2012 – 2013)
Cho 5 số dương đôi một khác nhau sao cho mỗi số không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại hai số mà tích của chúng
By Ximena
Gọi các số đã cho là $a_1;a_2;a_3;a_4;a_5$ với $a_i=2^{x_i}.3^{y_j} (x_i;y_i\in\mathbb N)$
Trong 5 cặp số $(x_1,y_1);….;(x_5,y_5)$, mỗi cặp số thuộc một trong bốn dạng: (chẵn, chẵn); (chẵn, lẻ); (lẻ, chẵn); (lẻ, lẻ)
Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại $[\dfrac{5−1}{4}]+1= 2$ cặp số cùng dạng.
TH1: Giả sử 2 cặp số $(x_1,y_1);(x_2,y_2)$
cùng dạng (chẵn, chẵn) $\Rightarrow x_1+x_2$ và $y_1+y_2$ đều là các số chẵn.
TH2: Giả sử 2 cặp số $(x_1,y_1);(x_2,y_2)$
cùng dạng (chẵn, lẻ) $\Rightarrow x_1+x_2$ và $y_1+y_2$ đều là các số chẵn.
TH3: Giả sử 2 cặp số $(x_1,y_1);(x_2,y_2)$ cùng dạng (lẻ, chẵn) $\Rightarrow x_1+x_2$ và $y_1+y_2$ đều là các số chẵn.
TH4: Giả sử 2 cặp số $(x_1,y_1);(x_2,y_2)$ cùng dạng (lẻ, lẻ) $\Rightarrow x_1+x_2$ và $y_1+y_2$ đều là các số chẵn.
Vậy $x_1+x_2$ và $y_1+y_2$ đều là các số chẵn nên $a_1a_2=2^{x_1+x_2}.3^{y_1+y_2}$ là số chính phương. (vì số chính phương có các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn).