Cho 6 số nguyên `a, b, c, d, e, g` thỏa mãn `a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = g^2`. Chứng minh rằng tích `abcdeg` là số chẵn.
Cho 6 số nguyên `a, b, c, d, e, g` thỏa mãn `a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = g^2`. Chứng minh rằng tích `abcdeg` là số chẵn.
`=>` Bạn xem hình
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Giả sử $ a; b; c; d; e; f; g$ đồng thời lẻ
$ a = 2a’ + 1; b = 2b’ + 1; c = 2c’ + 1; d = 2d’ + 1; e = 2e’ + 1; g = 2g’ + 1$
Ta có $: a² + b² + c² + d² + e² = g²$
$ ⇔ (4a’² + 4a’ + 1) + (4b’² + 4b’ + 1) + (4c’² + 4c’ + 1)$
$ + (4d’² + 4d’ + 1) + (4e’² + 4e’ + 1) = 4g’² + 4g’ + 1$
$ ⇔ 4a’² + 4a’ + 4b’² + 4b’ + 4c’² + 4c’ $
$ + 4d’² + 4d’ + 4e’² + 4e’ + 4 = 4g’² + 4g’ $
$ ⇔ a'(a’ + 1) + b'(b’ + 1) + c'(c’ + 1) + d'(d’ + 1) + e'(e’ + 1) + 1 = g'(g’ + 1) (*)$
Vì tích của 2 số nguyên liên tiếp bất kỳ là một số chẵn
$ ⇒ VT$ của $(*)$ lẻ, còn $VP$ chẵn nên giả sử $ a; b; c; d; e; f; g$ đồng thời lẻ không đúng
Vậy trong 6 số $ a; b; c; d; e; g$ phải có ít nhất một số chẵn hay tích $abcdeg$ chẵn (đpcm)