Cho `x^6+y^6+z^6=3` và `x;y;z>0` CMR: `x^3/(yz)+y^3/(zx)+z^3/(xy)>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3` 05/11/2021 Bởi Nevaeh Cho `x^6+y^6+z^6=3` và `x;y;z>0` CMR: `x^3/(yz)+y^3/(zx)+z^3/(xy)>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`
Cách giải: Áp dụng BĐT cosi ta có: `x^6+y^6+z^6>=3root{3}{x^6y^6z^6}=3x^2y^2z^2` `->3x^2y^2z^2<=3` `->x^2y^2z^2<=1` `->xyz<=1` `->(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)` `=(x^4)/(xyz)+(y^4)/(xyz)+(z^4)/(xyz)>=x^4+y^4+z^4(@)` Áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số `(x^2,y^2,z^2),(x,y,z)` `->(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^3+y^3+z^3)^3` Mà `(x^3+y^3+z^3)^2>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)` `->(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)(@@)` Áp dụng BĐT cosi ta có: `x^6+1+1>=3root{3}{x^6}=3x^2` `y^6+1+1>=3y^2` `z^6+1+1>=3z^2` `->x^6+y^6+z^6+6>=3(x^2+y^2+z^2)` `->9>=3(x^2+y^2+z^2)` `->x^2+y^2+z^2<=3` Kết hợp với `(@@)` `->(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)` `->x^4+y^4+z^4>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3` Kếp hợp với `(@)` `->(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3` Dấu = xảy ra khi `x=y=z=1` Bình luận
Cách giải:
Áp dụng BĐT cosi ta có:
`x^6+y^6+z^6>=3root{3}{x^6y^6z^6}=3x^2y^2z^2`
`->3x^2y^2z^2<=3`
`->x^2y^2z^2<=1`
`->xyz<=1`
`->(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)`
`=(x^4)/(xyz)+(y^4)/(xyz)+(z^4)/(xyz)>=x^4+y^4+z^4(@)`
Áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số `(x^2,y^2,z^2),(x,y,z)`
`->(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^3+y^3+z^3)^3`
Mà `(x^3+y^3+z^3)^2>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`
`->(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)(@@)`
Áp dụng BĐT cosi ta có:
`x^6+1+1>=3root{3}{x^6}=3x^2`
`y^6+1+1>=3y^2`
`z^6+1+1>=3z^2`
`->x^6+y^6+z^6+6>=3(x^2+y^2+z^2)`
`->9>=3(x^2+y^2+z^2)`
`->x^2+y^2+z^2<=3`
Kết hợp với `(@@)`
`->(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`
`->x^4+y^4+z^4>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`
Kếp hợp với `(@)`
`->(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`
Dấu = xảy ra khi `x=y=z=1`