Cho A= 1+2+2^2+2^3+….+2^101 B=1.2.3.4….2015.2016 Chứng tỏ rằng A+B không phải là số chính phương

0 bình luận về “Cho A= 1+2+2^2+2^3+….+2^101 B=1.2.3.4….2015.2016 Chứng tỏ rằng A+B không phải là số chính phương”

1. Đáp án:

   $\begin{array}{l}
   A = 1 + 2 + {2^2} + … + {2^{101}}\\
    \Rightarrow 2.A = 2\left( {1 + 2 + {2^2} + … + {2^{101}}} \right)\\
    = 2 + {2^2} + {2^3} + … + {2^{101}} + {2^{102}}\\
    \Rightarrow 2A – A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + … + {2^{101}} + {2^{102}}} \right) – \left( {1 + 2 + {2^2} + … + {2^{101}}} \right)\\
    \Rightarrow A = {2^{102}} – 1
   \end{array}$

   Ta thấy lũy thừa của 2 có tận cùng theo quy luật là 2 ; 4; 8; 6 

   ( Ví dụ: 2^1 =2; 2^2= 4; 2^3= 8; 2^4=16; 2^5 =32;…)

   Ta thấy 102 chia cho 4 dư 2 nên ${2^{102}}$ có tận cùng là 4

   Vì thế ${2^{102}}-1$ có tận cùng là 3

   B=1.2.3.4…..2015.2016

   Trong B có rất nhiều số có tận cùng là 0 (như 10, 20,…) nên tích B có tận cùng là 0

   Suy ra: A+B có tận cùng là 3

   Mà 1 số chính phương có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 

   Vậy A+B không phải số chính phương

   Bình luận