cho A=1+2+2^2+2^3+..+2^2019 chứng minh rằng A chia hết cho 2,3,7,70 và chứng minh A +1 là một số chính phương giải nhanh giúp mik vs

Giải thích các bước giải:

Ta có:
$A=1+2+2^2+2^3+…+2^{2019}$

$\to 2A=2+2^2+2^3+2^4+…+2^{2020}$

$\to 2A-A=2^{2020}-1$

$\to A=2^{2020}-1$

Vì $2\quad\vdots\quad 2\to 2^{2020}\quad\vdots\quad 2$

$\to 2^{2020}-1\quad\not\vdots\quad 2$

$\to A\quad\not\vdots\quad 2$

Ta có:

$2^{2020}-1=(2^2)^{1010}-1=4^{1010}-1\quad\vdots\quad 4-1=3$

$\to 2^{2020}-1\quad\vdots\quad 3$

$\to A\quad\vdots\quad 3$

Lại có:

$2^{2020}=2\cdot 2^{2019}=2\cdot 2^{3\cdot 673}=2\cdot (2^3)^{673}=2\cdot 8^{673}$

Vì $8$ chia $7$ dư $1$

$\to 8^{673}$ chia $7$ dư $1$

$\to 2\cdot 8^{673}$ chia $7$ dư $2$

$\to 2\cdot 8^{673}-1$ chia $7$ dư $1$

$\to2^{2020}-1$ chia $7$ dư $1$

$\to A$ chia $7$ dư $1$

$\to A\quad\not\vdots\quad 7$

$\to A\quad\not\vdots\quad 70$ vì $70=7\cdot 10$

Ta có:

$A=2^{2020}-1$

$\to A+1=2^{2020}$

$\to A+1=(2^{1010})^2$ là số chính phương