cho $a_{1}$,$a_{2}$,…$a_{100}$ là các số tự nhiên thỏa mãn $a_{1}$+$a_{2}$+…$a_{100}$=22015
chứng minh rằng $a_{12}$+$a_{22}$+$a_{32}$+…$a_{1002}$ chia hết cho 2
cho $a_{1}$,$a_{2}$,…$a_{100}$ là các số tự nhiên thỏa mãn $a_{1}$+$a_{2}$+…$a_{100}$=22015
chứng minh rằng $a_{12}$+$a_{22}$+$a_{32}$+…$a_{1002}$ chia hết cho 2
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$n^2-n=n(n-1)\quad\vdots\quad 2$ vì $n, n-1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp
$\to S=a_1^2+a_2^2+a_3^2+..+a_{100}^2-(a_1+a_2+..+a_{100})$
$\to S=(a_1^2-a_1)+(a_2^2-a_2)+(a_3^2-a_3)+..+(a_{100}^2-a_{100})\quad\vdots\quad 2$
Mà $a_1+a_2+..+a_{100}=22015$ lẻ
$\to a_1^2+a_2^2+a_3^2+..+a_{100}^2$ lẻ
$\to a_1^2+a_2^2+a_3^2+..+a_{100}^2$ không chia hết cho 2
Giải
Ta luôn luôn có :
$n^{2}$ – $n$=$n.n$ – $n$=$n(n-1)$
Nxét: $n$ và $n-1$ là $2$ số tự nhiên liên tiếp⇒$n(n-1)$ ⋮ $2$ (1)
⇒S=$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ -($a_{1}$ + $a_{2}$ +($a_{3}$+……+$a_{100}$)
⇒S=$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ -($a_{1}$ – $a_{2}$ -$a_{3}$-……-$a_{100}$
⇒S=($a^{2}_{1}$ – $a_{1}$) + ($a^{2}_{2}$ – $a_{2}$) + ($a^{2}_{3}$ – $a_{3}$) + …….+($a^{2}_{100}$ – $a_{100}$) ⋮ 2 [từ (1)]
Mà từ đề bài $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + ….+$a_{100}$=22015 là một số lẻ
⇒$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ cũng tính chẵn lẻ⇒lẻ.
Mặt $\neq$ :một số lẻ không thể chia hết cho $2$
⇒$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ không chia hết cho $2$
Vậy $a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ không chia hết cho $2$ (đpcm)