Cho A=1/b^2+c^2-a^2 + 1/c^2+a^2-b^2 + 1/a^2+b^2-c^2. Chứng minh rằng A=0, biết a+b+c=0

0 bình luận về “Cho A=1/b^2+c^2-a^2 + 1/c^2+a^2-b^2 + 1/a^2+b^2-c^2. Chứng minh rằng A=0, biết a+b+c=0”

1. Theo giả thuyết ta có:

   `a+b+c=0`

   `⇒a+b=-c`

   `⇒(a+b)^2=(-c)^2`

   `⇒a^2+2ab+b^2=c^2`

   `⇒a^2+b^2-c^2=-2ab`

   Tương tự ta được:

   `c^2+a^2-b^2=-2ac`

   `c^2+b^2-a^2=-2bc`

   Ta có `A=1/(b^2+c^2-a^2)+1/(c^2+a^2-b^2)+1/(a^2+b^2-c^2)`

   `A=1/(-2bc)+1/(-2ac)+1/(-2ab)`

   `⇒A=(a+b+c)/(-2abc)`

   `⇒A=0/(-2abc)`

   `⇒A=0` (đpcm)

   Bình luận

2. Có a + b + c = 0

   ⇒b² + c² – a² = (b + c)² – a² – 2bc = (a + b + c)(b + c – a) – 2bc = – 2bc

   ⇒c² + a² – b² = (c + a)² – b² – 2ca = (a + b + c)(c + a – b) – 2ca = – 2ca

   ⇒a² + b² – c² = (a + b)² – c² – 2ab = (a + b + c)(a + b – c) – 2ab = – 2ab

   ⇒A = 1/(b² + c² – a²) + 1/(c² + a² – b² ) + 1/(a² + b² – c²)

   = – (1/2)(1/bc + 1/ca + 1/ab)

   = – (1/2)(a + b + c)/abc = 0

   Bình luận