cho a>=1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=3a+1\2a

0 bình luận về “cho a>=1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=3a+1\2a”

1. Đáp án:

   GTNN của $A=\dfrac72$ khi $a=1$

   Giải thích các bước giải:

   $A=3a+\dfrac1{2a}=\dfrac{5a}2+\dfrac a2+\dfrac1{2a}$

   Ta có $a\ge1\Rightarrow\dfrac{5a}{2}\ge\dfrac52$

   $\dfrac a2+\dfrac1{2a}\ge2\sqrt{\dfrac a2.\dfrac1{2a}}=1$ (bất đẳng thức cosi)

   $\Rightarrow A\ge\dfrac52+1=\dfrac72$

   Vậy GTNN của $A=\dfrac72$ dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac a2=\dfrac1{2a}$

   $\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1.$

   Giải thích:

   Nếu dùng bất đẳng thức cosi ngay thì dấu bằng xảy ra khi $a=\dfrac1{\sqrt6}<1$ không đúng với đề.

   Nên để làm dạng bài này ta thêm bớt sao cho khi dùng bất đẳng thức cosi sao cho dấu bằng xảy ra khi $a=1$ (để đúng với điều kiện $a\ge1$ của đề)

   Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac1{2a}=ma\Leftrightarrow a^2=\dfrac1{2m}=1$ khi $m=\dfrac12$

   Như vậu ta tách 3a thành $\dfrac a2+\dfrac{5a}2$.

   Trả lời

2. Áp dụng BĐT Cauchy ta có

   $A = 3a + \dfrac{1}{2a} \geq 2\sqrt{3a . \dfrac{1}{2a}} = \sqrt{6}$

   Dấu “=” xảy ra khi $3a = \dfrac{1}{2a}$ hay $a = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

   Vậy GTNN của $A$ là $\sqrt{6}$, đạt đc khi $a = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$.

   Trả lời