Cho A (2, -1, 3), B(4,0,1), C( -10, 5,3 ) tìm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA^2 + MB^2 – 3MC^2 lớn nhất 04/08/2021 Bởi Mackenzie Cho A (2, -1, 3), B(4,0,1), C( -10, 5,3 ) tìm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA^2 + MB^2 – 3MC^2 lớn nhất
Đáp án: \(M\left( { – 36;16;0} \right)\). Giải thích các bước giải: Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} – 3\overrightarrow {IC} = 0\) Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( {2 – x; – 1 – y;3 – z} \right)\\\overrightarrow {IB} = \left( {4 – x; – y;1 – z} \right)\\\overrightarrow {IC} = \left( { – 10 – x;5 – y;3 – z} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} – 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – x + 4 – x – 3\left( { – 10 – x} \right) = 0\\ – 1 – y – y – 3\left( {5 – y} \right) = 0\\3 – z + 1 – z – 3\left( {3 – z} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 36 = 0\\y – 16 = 0\\z + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 36\\y = 16\\z = – 13\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow I\left( { – 36;16; – 13} \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,M{A^2} + M{B^2} – 3M{C^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} – 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = – M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} – 3\overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} – 3I{C^2}\\ = – M{I^2} + \left( {I{A^2} + I{B^2} – 3I{C^2}} \right)\end{array}\) Do \(I{A^2} + I{B^2} – 3I{C^2} = const\) nên \(M{A^2} + M{B^2} – 3M{C^2}\) lớn nhất khi và chỉ khi \( – M{I^2}\) lớn nhất. \( \Rightarrow M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Rightarrow MI\) nhỏ nhất. \( \Rightarrow M\) là hình chiếu của I trên \(\left( {Oxy} \right)\). Vậy \(M\left( { – 36;16;0} \right)\). Bình luận
Đáp án:
\(M\left( { – 36;16;0} \right)\).
Giải thích các bước giải:
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} – 3\overrightarrow {IC} = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( {2 – x; – 1 – y;3 – z} \right)\\\overrightarrow {IB} = \left( {4 – x; – y;1 – z} \right)\\\overrightarrow {IC} = \left( { – 10 – x;5 – y;3 – z} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} – 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – x + 4 – x – 3\left( { – 10 – x} \right) = 0\\ – 1 – y – y – 3\left( {5 – y} \right) = 0\\3 – z + 1 – z – 3\left( {3 – z} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 36 = 0\\y – 16 = 0\\z + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 36\\y = 16\\z = – 13\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow I\left( { – 36;16; – 13} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,M{A^2} + M{B^2} – 3M{C^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} – 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = – M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} – 3\overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} – 3I{C^2}\\ = – M{I^2} + \left( {I{A^2} + I{B^2} – 3I{C^2}} \right)\end{array}\)
Do \(I{A^2} + I{B^2} – 3I{C^2} = const\) nên \(M{A^2} + M{B^2} – 3M{C^2}\) lớn nhất khi và chỉ khi \( – M{I^2}\) lớn nhất.
\( \Rightarrow M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Rightarrow MI\) nhỏ nhất.
\( \Rightarrow M\) là hình chiếu của I trên \(\left( {Oxy} \right)\).
Vậy \(M\left( { – 36;16;0} \right)\).