Cho A(2;-2) B(3;1) C(-4;1).
A) Tìm D là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC
B) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cho A(2;-2) B(3;1) C(-4;1). A) Tìm D là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC B) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
By Melanie
a, Gọi D (x;y) là chân đường cao hạ từ A của ΔABC
→AD = (x-2; y+2) , →BC = (-4-3; 1-1) = (-7; 0), →BD = (x-3; y-1)
Vì D là chân đường cao hạ từ A của ΔABC nên ta có
$\left \{ {{→AD⊥→BC} \atop {B, D, C thẳng.hàng}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{→BD.→BC=0} \atop {→BD,→BCcùng.phương}} \right.$
⇔ $\left \{ {{(x-2).(-7)+(y+2).0=0} \atop {(x-3).0-(y-1).(-7)=0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{(x-2).(-7)=0} \atop {-(y-1).(-7)=0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x-2=0} \atop {y-1=0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x=2} \atop {y=1}} \right.$
⇒ D (2;1)
b, Gọi I (a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
→IA = (2-a; -2-b) ⇒ IA = $\sqrt[]{(2-a)²+(-2-b)²}$
→ IB = (3-a; 1-b) ⇒ IB = $\sqrt[]{(3-a)²+(1-b)²}$
→ IC = (-4-a; 1-b) ⇒ IC = $\sqrt[]{(-4-a)²+(1-b)²}$
Vì I (a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC nên ta có IA = IB = IC
⇔ $\left \{ {{IA²=IB²} \atop {IA²=IC²}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{(2-a)²+(-2-b)²=(3-a)²+(1-b)²} \atop {(2-a)²+(-2-b)²=(-4-a)²+(1-b)²}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{a=\frac{-13}{14} } \atop {b=\frac{-5}{14}}} \right.$
⇒ I ( $\frac{-13}{14}$; $\frac{-5}{14}$ )
Giải thích các bước giải:
a,
Phương trình đường thẳng BC đi qua BC là: \(y = 1\)
AD ⊥ BC nên phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với BC là \(x = 2\)
D là giao điểm của AD và BC nên \(D\left( {2;1} \right)\)
b,
Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Khi đó, \(IA = IB = IC\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AI} \left( {a – 2;b + 2} \right)\\
\overrightarrow {BI} \left( {a – 3;b – 1} \right)\\
\overrightarrow {CI} \left( {a + 4;b – 1} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
IA = IB\\
IB = IC
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = {\left( {a – 3} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2}\\
{\left( {a – 3} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = {\left( {a + 4} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{7}{2}\\
b = – \frac{5}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{7}{2}; – \frac{5}{6}} \right)
\end{array}\)