Cho $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$. CMR: $a=b=c$ 11/08/2021 Bởi Everleigh Cho $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$. CMR: $a=b=c$
Đáp án: Giải thích các bước giải: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\\⇔2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\\⇔2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\\⇔a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\\⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$ Vì $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0 ∀a;b;c$ Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi : $\left\{ \begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix} \right.\\⇔\left\{ \begin{matrix}a=b(1)\\b=c(2)\\c=a(3)\end{matrix} \right.$ Từ $(1) ; (2)$ và $(3) ⇒ a=b=c$ (Điều phải chứng minh). Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: a² + b² + c² – ab – bc – ac = 0 ⇔ 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ac = 0 ⇔ a² – 2ab + b² + b² – 2bc + c² + a² – 2ac + c² = 0 ⇔ (a – b)² + (b – c)² + (c – a )² = 0 Vì (a – b)² + (b – c)² + (c – a )² ≥ 0 với mọi a, b, c Khi đó để (a – b)² + (b – c)² + (c – a )² = 0 ⇒ a -b = 0 b – c = 0 a – c = 0 ⇔ a = b = c Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\\⇔2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\\⇔2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\\⇔a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0\\⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Vì $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0 ∀a;b;c$
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi :
$\left\{ \begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix} \right.\\⇔\left\{ \begin{matrix}a=b(1)\\b=c(2)\\c=a(3)\end{matrix} \right.$
Từ $(1) ; (2)$ và $(3) ⇒ a=b=c$ (Điều phải chứng minh).
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a² + b² + c² – ab – bc – ac = 0
⇔ 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ac = 0
⇔ a² – 2ab + b² + b² – 2bc + c² + a² – 2ac + c² = 0
⇔ (a – b)² + (b – c)² + (c – a )² = 0
Vì (a – b)² + (b – c)² + (c – a )² ≥ 0 với mọi a, b, c
Khi đó để (a – b)² + (b – c)² + (c – a )² = 0
⇒ a -b = 0
b – c = 0
a – c = 0
⇔ a = b = c