cho a^2+b^2+C^2=ab+bc+ca. Chứng minh a=b=c

Ta sẽ đi chứng minh BĐT sau: $a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc$

$↔2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+ac+bc)\\↔2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2ac+2bc\\↔2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc≥0\\↔(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)≥0\\↔(a^2-ab-ab+b^2)+(b^2-bc-bc+c^2)+(c^2-ac-ac+a^2)≥0\\→[(a^2-ab)-(ab-b^2)]+[(b^2-bc)-(bc-c^2)]+[(c^2-ac)-(ac-a^2)]≥0\\↔[a(a-b)-b(a-b)]+[b(b-c)-c(b-c)]+[c(c-a)-a(c-a)]≥0\\→(a-b)(a-b)+(b-c)(b-c)+(c-a)(c-a)≥0\\↔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0$

Vì $(a-b)^2≥0,(b-c)^2≥0,(c-a)^2≥0$

$→(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0$

$→$ Dấu “=” xảy ra khi $a-b=b-c=c-a=0$

$↔a=b=c$

$→a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ khi $a=b=c$

$→$ ĐPCM