cho a^2+b^2+C^2=ab+bc+ca. Chứng minh a=b=c

0 bình luận về “cho a^2+b^2+C^2=ab+bc+ca. Chứng minh a=b=c”

1. Ta sẽ đi chứng minh BĐT sau: $a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc$

   $↔2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+ac+bc)\\↔2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2ac+2bc\\↔2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc≥0\\↔(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)≥0\\↔(a^2-ab-ab+b^2)+(b^2-bc-bc+c^2)+(c^2-ac-ac+a^2)≥0\\→[(a^2-ab)-(ab-b^2)]+[(b^2-bc)-(bc-c^2)]+[(c^2-ac)-(ac-a^2)]≥0\\↔[a(a-b)-b(a-b)]+[b(b-c)-c(b-c)]+[c(c-a)-a(c-a)]≥0\\→(a-b)(a-b)+(b-c)(b-c)+(c-a)(c-a)≥0\\↔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0$

   Vì $(a-b)^2≥0,(b-c)^2≥0,(c-a)^2≥0$

   $→(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0$

   $→$ Dấu “=” xảy ra khi $a-b=b-c=c-a=0$

   $↔a=b=c$

   $→a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ khi $a=b=c$

   $→$ ĐPCM

    

   Bình luận

2. Trước hết, cần chứng minh được đẳng thức :

   `a^2+2ab+b^2=(a+b)^2`

   C/m:

   `a^2-2ab+b^2`

   `=(a^2-ab)-(ab-b^2)`

   `=a(a-b)-b(a-b)`

   `=(a-b)^2`

   Ta có: `a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`

   `⇒a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0`

   `⇒2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0.2`

   `⇒a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2bc-2ca=0`

   `⇒(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ca+c^2)=0`

   `⇒(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0`

   Vì `(a-b)^2;(b-c)^2;(a-c)^2≥0`

   `⇒(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2≥0`

   `⇒` Dấu $”=”$ xảy ra khi: $\begin{cases}(a-b)^2=0\\(b-c)^2=0\\(a-c)^2=0\end{cases}$

   $⇒\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}$

   $⇒\begin{cases}a=b\\b=c\\a=c\end{cases}$

   `⇒a=b=c`

   Bình luận