Cho: $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ CMR: $a+b+c+ab+bc+ca^{}$ $\leq$ 1+ $\sqrt[]{3}$ 03/07/2021 Bởi Valerie Cho: $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ CMR: $a+b+c+ab+bc+ca^{}$ $\leq$ 1+ $\sqrt[]{3}$
Giải thích các bước giải: Ta có :$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$ $\to a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge 0$ $\to 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)$ $\to a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ $\to 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)$ $\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge a^2+b^2+c^2+ 2(ab+bc+ca)$ $\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2$ $\to a+b+c\le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$ $\to a+b+c+ab+bc+ca\le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a^2+b^2+c^2=\sqrt{3}+1, a^2+b^2+c^2=1$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$
$\to a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge 0$
$\to 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)$
$\to a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$
$\to 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)$
$\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge a^2+b^2+c^2+ 2(ab+bc+ca)$
$\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2$
$\to a+b+c\le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
$\to a+b+c+ab+bc+ca\le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a^2+b^2+c^2=\sqrt{3}+1, a^2+b^2+c^2=1$