Cho A ≥4. Tìm GTNN của biểu thức A= √a+$\frac{1}{\sqrt[]{a}+2}$

0 bình luận về “Cho A ≥4. Tìm GTNN của biểu thức A= √a+$\frac{1}{\sqrt[]{a}+2}$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $\begin{array}{l}
   A = \sqrt a  + \dfrac{1}{{\sqrt a  + 2}} = \sqrt a  + 2 + \dfrac{{16}}{{\sqrt a  + 2}} – 2 – \dfrac{{15}}{{\sqrt a  + 2}}\\
    = \left( {\sqrt a  + 2 + \dfrac{{16}}{{\sqrt a  + 2}}} \right) – \dfrac{{15}}{{\sqrt a  + 2}} – 2\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt a  + 2 + \dfrac{{16}}{{\sqrt a  + 2}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt a  + 2} \right)\dfrac{{16}}{{\sqrt a  + 2}}} \ge 8(BDT Cauchy) \\
   a \ge 4 \Rightarrow \sqrt a  \ge 2 \Rightarrow \sqrt a  + 2 \ge 4 \Rightarrow \dfrac{{15}}{{\sqrt a  + 2}} \le \dfrac{{15}}{4} \Rightarrow  – \dfrac{{15}}{{\sqrt a  + 2}} \ge \dfrac{{ – 15}}{4}
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow A \ge 8 – \dfrac{{15}}{4} – 2 = \dfrac{9}{4}
   \end{array}$

   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

   $\left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt a  + 2 = \dfrac{{16}}{{\sqrt a  + 2}}\\
   a = 4
   \end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4$

   Vậy $Min A=\dfrac{9}{4}$ khi và chỉ khi $a=4$

   Bình luận