Cho A=5+$5^{2}$+$5^{3}$+…+$5^{2021}$
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
b) Tính A.
c) Tìm số dư khi chia A cho 31.
Cho A=5+$5^{2}$+$5^{3}$+…+$5^{2021}$
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
b) Tính A.
c) Tìm số dư khi chia A cho 31.
a, Là hợp số. Vì ngoài 1 và chính nó, A còn có 1 ước số khác là 5.
b, Xét $A=5+5^2+5^3+…+5^{2021}$
$⇒5A=5^2+5^3+…+5^{2021}+5^{2022}$
$⇒5A-A=5^{2022}-5$
$⇔4A=5^{2022}-5⇔A=\frac{5^{2022}-5}4$
Vậy $A=\frac{5^{2022}-5}4$
c, Xét $A=5+5^2+5^3+…+5^{2021}$
$=5+5^2(1+5+5^2)+5^5(1+5+5^2)+…+5^{2019}(1+5+5^2)$
$=5+(1+5+5^2)(5^2+5^5+…+5^{2019})$
$=5+31.(5^2+5^5+…+5^{2019})÷31$ dư 5
Vậy $A÷31$ dư 5
Đáp án:
a) Vì: 5 chia hết cho 5
5² chia hết cho 5
5³ chia hết cho 5
…
5^2021 chia hết cho 5
⇒ A=5+5²+5³ +…+5∧2021 chia hết cho 5 và >5 là hợp số
b) A=5+5²+5³+…+5^2021
⇒5A=5²+5³+…+5^2022
⇒5A-A=(5²+5³+…+5^2022)-(5+5²+5³+…+5^2021)
⇒4A=(5^2022-5^2021)
⇒A=(5^2022-5^2021):4
c)A=5+5²+5³+…+5^2021
=(5+5²+5³)+(5^4+5^5+5^6)+…+(5^2017+5^2018+5^2019)+5^2020+5^2021
=155+5^3(5+5²+5³)+…+5^2016(5+5²+5³)+5^2020+5^2021
=155(1+5^3+…+5^2016)+5^2020+5^2021
vì: 155(1+5^3+…+5^2016) ≡0(mod 31) (1)
5^2020=(5³)∧673·5=125^673.5≡1^673.5≡2(mod 31) (2)
5^2021=(5³)∧673·5²= 125^673.5²≡1^673.5²≡25(mod 31) (3)
Từ (1), (2), (3)⇒A≡0+2+25≡27(mod 31)
hay A chia 31 dư 27