Cho `a,b>0`, `2a+b<=3`, chứng minh `2/\sqrt{a+3}+1/\sqrt{b+3}>=3/2`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có:

Áp dụng $BĐT : (x + y + z)²≤ 3(x² + y² + z²) $ 

với $x = y = \sqrt[]{a + 3}; z = \sqrt[]{b + 3}$ ta có:

$ (2x + z)² = (2\sqrt[]{a + 3} + \sqrt[]{b + 3})² $

$ ≤ 3[2(a + 3) + (b + 3)] = 3(2a + b + 9) ≤ 3(3 + 9) = 36$

$ ⇔ 2x + z =  2\sqrt[]{a + 3} + \sqrt[]{a + 3} ≤ 6$

$ ⇔ \dfrac{9}{2x + z} ≥ \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$

Mặt khác áp dụng $BĐT$ cô si cho 3 số ta có:

$(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) ≥ (3\sqrt[3]{xyz})(3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}}) = 9$

$ ⇔ (2x + z)(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{z}) ≥ 9 ⇔ \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{z} ≥ \dfrac{9}{2x + z}$

$ ⇔ \dfrac{2}{\sqrt[]{a + 3}} + \dfrac{1}{\sqrt[]{b + 3}} ≥ \dfrac{3}{2} (đpcm)$

Dấu $’=’$ xảy ra khi $x = y = z ⇔ a = b = 1$