Cho a,b > 0, a+b= 1. chứng minh 1/a+1 + 1/b+1 >= 4/3 24/07/2021 Bởi Melody Cho a,b > 0, a+b= 1. chứng minh 1/a+1 + 1/b+1 >= 4/3
Đáp án: Giải thích các bước giải: Do `a,b>0` ,Áp dụng BĐT Svac-xơ `=>1/(a+1) +1/(b+1) >=(1+1)^2/(a+1+b+1)` `=>1/(a+1) +1/(b+1) >=4/(a+b+2)` `=>1/(a+1) +1/(b+1) >=4/3` Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=1` Bình luận
Vì `a,b>0` nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : `a +b \ge 2 . \sqrt{ab}` `<=> 1 \ge 2 . \sqrt{ab} (do\ a+ b = 1)` `<=> 1 \ge 2 . \sqrt{ab} (do\ a+ b = 1)` `<=> 1/2 \ge \sqrt{ab}` `<=> \sqrt{1/4} \ge \sqrt{ab}` `<=> 1/4 \ge ab` `<=> ab \le 1/4` Ta có : `1/(a+1) + 1/(b+1) ` ` = (b+1)/((a+1).(b+1)) + (a+1)/((a+1).(b+1)) ` `= (a+1+b+1)/((a+1).(b+1))` ` = (a+b+2)/(ab+a+b+1) ` `= (1 + 2 )/ (ab+1+1) (do\ a+b=1)` ` = 3/(ab+2)` Có : `ab \le 1/4` nên `ab + 2 \le 9/4` `=> 3/(ab+2) \ge 3 : 9/4` `=> 3/(ab+2) \ge 4/3` `=> 1/(a+1) + 1/(b+1) \ge 4/3` Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Do `a,b>0` ,Áp dụng BĐT Svac-xơ
`=>1/(a+1) +1/(b+1) >=(1+1)^2/(a+1+b+1)`
`=>1/(a+1) +1/(b+1) >=4/(a+b+2)`
`=>1/(a+1) +1/(b+1) >=4/3`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=1`
Vì `a,b>0` nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
`a +b \ge 2 . \sqrt{ab}`
`<=> 1 \ge 2 . \sqrt{ab} (do\ a+ b = 1)`
`<=> 1 \ge 2 . \sqrt{ab} (do\ a+ b = 1)`
`<=> 1/2 \ge \sqrt{ab}`
`<=> \sqrt{1/4} \ge \sqrt{ab}`
`<=> 1/4 \ge ab`
`<=> ab \le 1/4`
Ta có :
`1/(a+1) + 1/(b+1) `
` = (b+1)/((a+1).(b+1)) + (a+1)/((a+1).(b+1)) `
`= (a+1+b+1)/((a+1).(b+1))`
` = (a+b+2)/(ab+a+b+1) `
`= (1 + 2 )/ (ab+1+1) (do\ a+b=1)`
` = 3/(ab+2)`
Có : `ab \le 1/4` nên `ab + 2 \le 9/4`
`=> 3/(ab+2) \ge 3 : 9/4`
`=> 3/(ab+2) \ge 4/3`
`=> 1/(a+1) + 1/(b+1) \ge 4/3`