cho `:a;b>0` `a+b=1` tìm `minQ=1/(a^3+b^3+ab) +(4a^2b^2+2)/(ab)` 02/10/2021 Bởi Gianna cho `:a;b>0` `a+b=1` tìm `minQ=1/(a^3+b^3+ab) +(4a^2b^2+2)/(ab)`
$Q=\dfrac{1}{(a+b)(a^2+b^2-ab)+ab}+4ab+\dfrac{2}{ab}$ $=\dfrac{1}{a^2+b^2}+4ab+\dfrac{2}{ab}$ (do $a+b=1$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có: $\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}≥\dfrac{4}{(a+b)^2}=4$ $4ab+\dfrac{1}{4ab}≥2.\sqrt[]{4ab.\dfrac{1}{4ab}}=2$ $ab≤\dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{1}{4}⇒\dfrac{5}{4ab}≥\dfrac{5}{1}=5$ Nên $Q≥4+2+5=11$ Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=\dfrac{1}{2}$ Bình luận
$Q=\dfrac{1}{(a+b)(a^2+b^2-ab)+ab}+4ab+\dfrac{2}{ab}$
$=\dfrac{1}{a^2+b^2}+4ab+\dfrac{2}{ab}$ (do $a+b=1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có:
$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}≥\dfrac{4}{(a+b)^2}=4$
$4ab+\dfrac{1}{4ab}≥2.\sqrt[]{4ab.\dfrac{1}{4ab}}=2$
$ab≤\dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{1}{4}⇒\dfrac{5}{4ab}≥\dfrac{5}{1}=5$
Nên $Q≥4+2+5=11$
Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=\dfrac{1}{2}$