cho a,b > 0 ; a+b=1 tính gttn của Q= $\frac{1}{a^2+b^2}$ + $\frac{5}{ab}$

0 bình luận về “cho a,b > 0 ; a+b=1 tính gttn của Q= $\frac{1}{a^2+b^2}$ + $\frac{5}{ab}$”

1. Đáp án:

   \(\min Q = 22 \Leftrightarrow a = b = \dfrac12\) 

   Giải thích các bước giải:

   \(\begin{array}{l}
   \text{Ta có:}\\
   \quad a + b \geqslant 2\sqrt{ab}\quad (BDT\ Cauchy)\\
   \to (a+b)^2 \geqslant 4ab\\
   \to 1 \geqslant 4ab\\
   \to \dfrac{1}{ab} \geqslant 4\\
   \text{Ta được:}\\
   \quad Q = \dfrac{1}{a^2 + b^2} + \dfrac{5}{ab}\\
   \to Q = \dfrac{1}{a^2 + b^2} + \dfrac{1}{2ab} + \dfrac{9}{2ab}\\
   \to Q \geqslant \dfrac{(1+1)^2}{a^2 + 2ab + b^2} + \dfrac{9}{2ab}\quad (BDT\ Cauchy-Schwarz)\\
   \to Q \geqslant \dfrac{4}{(a+b)^2} + \dfrac{9}{2}\cdot \dfrac{1}{ab}\\
   \to Q \geqslant \dfrac{4}{1^2} + \dfrac{9}{2}\cdot 4\\
   \to Q \geqslant 22\\
   \text{Dấu = xảy ra}\ \Leftrightarrow \begin{cases}a^2 + b^2 = 2ab\\a + b = 1\\a = b\end{cases}\Leftrightarrow a = b= \dfrac12\\
   \text{Vậy}\ \min Q = 22 \Leftrightarrow a = b = \dfrac12
   \end{array}\)

   Bình luận