cho a,b>0 , a+b=2 tìm gtnn của Q= 1/a^2+1/b^2+2/ab 14/08/2021 Bởi Arya cho a,b>0 , a+b=2 tìm gtnn của Q= 1/a^2+1/b^2+2/ab
Đáp án: \[{Q_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\] Giải thích các bước giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia- Copski ta có: \(\begin{array}{l}Q = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{2}{{ab}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ab}}\\ \Leftrightarrow 4.Q = 4.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ab}}} \right)\\ \Leftrightarrow 4Q = {\left( {a + b} \right)^2}.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ab}}} \right)\\ \Leftrightarrow 4Q = \left( {{a^2} + {b^2} + ab + ab} \right).\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ab}}} \right)\\ \Leftrightarrow 4Q \ge {\left( {a.\frac{1}{a} + b.\frac{1}{b} + \sqrt {ab} .\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \sqrt {ab} .\frac{1}{{\sqrt {ab} }}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4Q \ge {4^2}\\ \Leftrightarrow Q \ge 4\end{array}\) Vậy \({Q_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\) Bình luận
Đáp án: \[Q_{\min}=4↔a=b=1\] Giải thích các bước giải: \(Q=\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}+\dfrac 2{ab}\\\to Q\ge \dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{4}{2ab}\\\to Q\ge 4\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)\\ \to Q\ge 4\left(\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}\right)\\\to Q\ge 4\cdot \dfrac{4}{4}=4\) \(\to Q_{\min}=4↔a=b=1\) Vậy \(Q_{\min}=4↔a=b=1\) Bình luận
Đáp án:
\[{Q_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\]
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia- Copski ta có:
\(\begin{array}{l}
Q = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{2}{{ab}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ab}}\\
\Leftrightarrow 4.Q = 4.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ab}}} \right)\\
\Leftrightarrow 4Q = {\left( {a + b} \right)^2}.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ab}}} \right)\\
\Leftrightarrow 4Q = \left( {{a^2} + {b^2} + ab + ab} \right).\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ab}}} \right)\\
\Leftrightarrow 4Q \ge {\left( {a.\frac{1}{a} + b.\frac{1}{b} + \sqrt {ab} .\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \sqrt {ab} .\frac{1}{{\sqrt {ab} }}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4Q \ge {4^2}\\
\Leftrightarrow Q \ge 4
\end{array}\)
Vậy \({Q_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = 1\)
Đáp án:
\[Q_{\min}=4↔a=b=1\]
Giải thích các bước giải:
\(Q=\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}+\dfrac 2{ab}\\\to Q\ge \dfrac{4}{a^2+b^2}+\dfrac{4}{2ab}\\\to Q\ge 4\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)\\ \to Q\ge 4\left(\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}\right)\\\to Q\ge 4\cdot \dfrac{4}{4}=4\)
\(\to Q_{\min}=4↔a=b=1\)
Vậy \(Q_{\min}=4↔a=b=1\)