cho a,b>0, a+b< hoặc =1 tính min P= (a+(1/b)) x (b+(1/a)) 10/07/2021 Bởi Arianna cho a,b>0, a+b< hoặc =1 tính min P= (a+(1/b)) x (b+(1/a))
Đáp án:\(Min_P=\dfrac{21}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\). Giải thích các bước giải: `P=(a+1/b)(b+1/a)` `=ab+1+1+1/(ab)` `=ab+1/(ab)+2` `=ab+1/(16ab)+15/(16ab)+2` Áp dụng bất đẳng thức cauchy với hai số dương ta có: `ab+1/(16ab)>=2\sqrt{ab*16/(ab)}=1/2` `<=>P>=3/2+15/(16ab)` Ta có:`4ab<=(a+b)^2(theo\ cauchy)` `<=>16ab<=4(a+b)^2<=4` `<=>P>=3/2+15/4=21/4`. Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\\ab=\dfrac{1}{16ab}(cauchy)\\\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\). Vậy \(Min_P=\dfrac{21}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\). Bình luận
Đáp án:\(Min_P=\dfrac{21}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\).
Giải thích các bước giải:
`P=(a+1/b)(b+1/a)`
`=ab+1+1+1/(ab)`
`=ab+1/(ab)+2`
`=ab+1/(16ab)+15/(16ab)+2`
Áp dụng bất đẳng thức cauchy với hai số dương ta có:
`ab+1/(16ab)>=2\sqrt{ab*16/(ab)}=1/2`
`<=>P>=3/2+15/(16ab)`
Ta có:`4ab<=(a+b)^2(theo\ cauchy)`
`<=>16ab<=4(a+b)^2<=4`
`<=>P>=3/2+15/4=21/4`.
Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\\ab=\dfrac{1}{16ab}(cauchy)\\\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\).
Vậy \(Min_P=\dfrac{21}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\).