cho a,b>0, a+b< hoặc =1 tính min P= (a+(1/b)) x (b+(1/a))

Đáp án:\(Min_P=\dfrac{21}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\).

Giải thích các bước giải:

`P=(a+1/b)(b+1/a)`

`=ab+1+1+1/(ab)`

`=ab+1/(ab)+2`

`=ab+1/(16ab)+15/(16ab)+2`

Áp dụng bất đẳng thức cauchy với hai số dương ta có:

`ab+1/(16ab)>=2\sqrt{ab*16/(ab)}=1/2`

`<=>P>=3/2+15/(16ab)`

Ta có:`4ab<=(a+b)^2(theo\ cauchy)`

`<=>16ab<=4(a+b)^2<=4`

`<=>P>=3/2+15/4=21/4`.

Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\a+b=1\\ab=\dfrac{1}{16ab}(cauchy)\\\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\).

Vậy \(Min_P=\dfrac{21}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\).