Toán cho`a;b>0` `ab=1` `CMR:a^3/(1+b^2)=b^3/(1+a^2) ≥1` 23/07/2021 By Arya cho`a;b>0` `ab=1` `CMR:a^3/(1+b^2)=b^3/(1+a^2) ≥1`
Đáp án: Áp dụng `B-C-S` `VT >= (a^2 + b^2)^2/(a + ab^2 + b + ba^2) >= [(1/2 (a + b)^2)^2]/(a + b + b + a) = [1/4 (a + b)^4]/(2(a + b)) = 1/8 (a + b)^3 >= 1/8 (2\sqrt{ab})^3 = 1/8 (2.\sqrt{1})^3 = 1` Dấu “=” `↔ a = b = 1` Giải thích các bước giải: Trả lời
Đáp án: Giải thích các bước giải: `a^3/(1+b^2) +b^3/(1+a^2)=a^4/(a+ab^2)+b^4/(b+ba^2) =a^4/(a+b)+b^4/(a+b)` Áp dụng BĐT Svac-xơ `VT=a^4/(a+b)+b^4/(a+b)>=(a^2+b^2)^2/[2(a+b)]` Ta có `a^2+b^2>=1/2 (a+b)^2` `=>VT>=(1/2 (a+b)^2)^2/[2(a+b)]=1/8 (a+b)^3` Lại có `a+b>=2\sqrt{ab} =2.1=2` `=>VT>=1/8 (a+b)^3 >=1/8 .2^3=1/8 .8 =1` Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=1` Trả lời
Đáp án:
Áp dụng `B-C-S`
`VT >= (a^2 + b^2)^2/(a + ab^2 + b + ba^2) >= [(1/2 (a + b)^2)^2]/(a + b + b + a) = [1/4 (a + b)^4]/(2(a + b)) = 1/8 (a + b)^3 >= 1/8 (2\sqrt{ab})^3 = 1/8 (2.\sqrt{1})^3 = 1`
Dấu “=” `↔ a = b = 1`
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`a^3/(1+b^2) +b^3/(1+a^2)=a^4/(a+ab^2)+b^4/(b+ba^2) =a^4/(a+b)+b^4/(a+b)`
Áp dụng BĐT Svac-xơ
`VT=a^4/(a+b)+b^4/(a+b)>=(a^2+b^2)^2/[2(a+b)]`
Ta có
`a^2+b^2>=1/2 (a+b)^2`
`=>VT>=(1/2 (a+b)^2)^2/[2(a+b)]=1/8 (a+b)^3`
Lại có
`a+b>=2\sqrt{ab} =2.1=2`
`=>VT>=1/8 (a+b)^3 >=1/8 .2^3=1/8 .8 =1`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=1`