Toán cho a,b>0 .CMR (a+b+c) x ((1/a)+(1/b)+(1/c)) > hoặc = 9 10/07/2021 By Audrey cho a,b>0 .CMR (a+b+c) x ((1/a)+(1/b)+(1/c)) > hoặc = 9
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có: `a+b+c\ge 3\root{3}{abc}` `1/a+1/b+1/c\ge 3\root{3}{1/{abc}}` Nhân vế với vế của 2 BĐT trên, ta được: `(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)\ge 9\root{3}{abc. 1/{abc}}=9` Đẳng thức xảy ra `<=>a=b=c` Trả lời
Đáp án: `(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9` `<=>1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1>=9` `<=>3+a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b>=9` `<=>a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b-6>=0` `<=>a/b-2+b/a+b/c-2+c/b+c/a-2+a/c>=0` `<=>(\sqrt{a/b}-\sqrt{b/a})^2+(\sqrt{b/c}-\sqrt{c/b})^2+(\sqrt{c/a}-\sqrt{a/c})^2>=0` đúng `AAa,b,c>0` Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c`. Trả lời
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có:
`a+b+c\ge 3\root{3}{abc}`
`1/a+1/b+1/c\ge 3\root{3}{1/{abc}}`
Nhân vế với vế của 2 BĐT trên, ta được:
`(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)\ge 9\root{3}{abc. 1/{abc}}=9`
Đẳng thức xảy ra `<=>a=b=c`
Đáp án:
`(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9`
`<=>1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1>=9`
`<=>3+a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b>=9`
`<=>a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b-6>=0`
`<=>a/b-2+b/a+b/c-2+c/b+c/a-2+a/c>=0`
`<=>(\sqrt{a/b}-\sqrt{b/a})^2+(\sqrt{b/c}-\sqrt{c/b})^2+(\sqrt{c/a}-\sqrt{a/c})^2>=0` đúng `AAa,b,c>0`
Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c`.