cho a,b>0 thoả mãn a+b=1. chứng minh ² $\frac{a^2}{1-a}$ + $\frac{b^2}{1-b}$ + $\frac{1}{a+b}$ +a+b ≥ $\frac{5}{2}$

0 bình luận về “cho a,b>0 thoả mãn a+b=1. chứng minh ² $\frac{a^2}{1-a}$ + $\frac{b^2}{1-b}$ + $\frac{1}{a+b}$ +a+b ≥ $\frac{5}{2}$”

1. Giải thích các bước giải:

    Vì a+b=1 nên \(\dfrac{1}{{a + b}} + a + b = \dfrac{1}{1} + 1 = 2\)

   Theo BĐT cô si ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \dfrac{{{a^2}}}{{1 – a}} + 1 – a \ge 2\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{1 – a}}.\left( {1 – a} \right)}  = 2a\\
   \dfrac{{{b^2}}}{{1 – b}} + 1 – b \ge 2\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{1 – b}}.\left( {1 – b} \right)}  = 2b\\
    \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{1 – a}} + \dfrac{{{b^2}}}{{1 – b}} \ge 3\left( {a + b} \right) – 2 = 1\\
    \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{1 – a}} + \dfrac{{{b^2}}}{{1 – b}} + \dfrac{1}{{a + b}} + a + b \ge 3 > \dfrac{5}{2}
   \end{array}\)

   Em xem đề đã chuẩn chưa nhé

   Bình luận