Cho `a,b>0` tm `\sqrt(ab)(a-b)=a+b`. Tính GTNN `P=a+b`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với $a, b > 0$

Từ hệ thức $:\sqrt{ab}(a – b) = a + b > 0 ⇒ a > b > 0$

Và $ \sqrt{ab} = \dfrac{a + b}{a – b} = 1 + \dfrac{2b}{a – b} > 1$

$ ⇔ ab > 1 ⇔ ab – 1 > 0$

Ta có $: \sqrt{ab}(a – b) = a + b ⇔ ab(a – b)² = (a + b)²$

$ ⇔ ab[(a + b)² – 4ab] = (a + b)²$

$ ⇔ ab.P² – 4a²b² = P² ⇔ (ab – 1)P² = 4a²b²$

$ ⇔ P² = \dfrac{4a²b²}{ab – 1} = \dfrac{4(a²b²- 1) + 4}{ab – 1}$

$ = 4(ab + 1 + \dfrac{1}{ab – 1}) = 4(ab – 1 + \dfrac{1}{ab – 1} + 2)$

$ ≥ 4(2\sqrt{(ab – 1).\dfrac{1}{ab – 1}} + 2) = 4(2 + 2) = 16$

$ ⇔ P = a + b ≥ 4$

Vậy $GTNN$ của $P = a + b = 4 ⇔ ab – 1 = \dfrac{1}{ab – 1}$

$ ⇔ a + b = 4; ab = 2 ⇔ a = 2 + \sqrt{2}; b = 2 – \sqrt{2}$

$ T = \dfrac{x}{(x + 2020)²} = \dfrac{(x + 2020) – 2020}{(x + 2020)²} $

$ = \dfrac{1}{x + 2020} – \dfrac{2020}{(x + 2020)²} $

$ = 2.\dfrac{1}{2\sqrt{2020}}.\dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020} – \dfrac{2020}{(x + 2020)²} $

$ = \dfrac{1}{4.2020} – [(\dfrac{1}{2\sqrt{2020}})² – 2.\dfrac{1}{\sqrt{2020}}.\dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020} – (\dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020})² $ 

$ = \dfrac{1}{2020} – (\dfrac{1}{2\sqrt{2020}} – \dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020})² $

$ ≥  \dfrac{1}{2020}$

Vậy $GTNN$ của $T = \dfrac{1}{2020} ⇔ \dfrac{1}{2\sqrt{2020}} – \dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020} = 0$

$ ⇔ \dfrac{1}{2\sqrt{2020}} = \dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020} ⇔ x = 2020$