Cho a,b>0 và a+b=2. Tìm GTNN M= $a^{2}$ + $b^{2}$ + $\frac{1}{ab}$ 25/07/2021 Bởi Claire Cho a,b>0 và a+b=2. Tìm GTNN M= $a^{2}$ + $b^{2}$ + $\frac{1}{ab}$
Đáp án: $M_{min} = 3 $ tại $a=b=1$ Giải thích các bước giải: Ta có : $a^2+b^2 ≥ 2ab$ $\to a^2+b^2 ≥ \dfrac{(a+b)^2}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$ Mặt khác có : $(a+b)^2 ≥ 4ab$ $\to ab ≤ \dfrac{(a+b)^2}{4} = 1$ $\to \dfrac{1}{ab} ≥ 1$ Do đó : $M ≥3$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=1$ Vậy $M_{min} = 3 $ tại $a=b=1$ Bình luận
Đáp án: $Min M=3$ Giải thích các bước giải: Ta có : $\begin{split}M&=a^2+b^2+\dfrac{1}{ab}\\&=\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{1}{ab}\\&\ge\dfrac{(a+b)^2}{4}+\dfrac{2ab}{2}+\dfrac{1}{ab}\\&=1+ab+\dfrac{1}{ab}\ge 1+2\sqrt{ab.\dfrac{1}{ab}}\\&=3\end{split} $ Dấu = xảy ra: $x=y=1$ Bình luận
Đáp án: $M_{min} = 3 $ tại $a=b=1$
Giải thích các bước giải:
Ta có : $a^2+b^2 ≥ 2ab$
$\to a^2+b^2 ≥ \dfrac{(a+b)^2}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$
Mặt khác có : $(a+b)^2 ≥ 4ab$
$\to ab ≤ \dfrac{(a+b)^2}{4} = 1$
$\to \dfrac{1}{ab} ≥ 1$
Do đó : $M ≥3$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=1$
Vậy $M_{min} = 3 $ tại $a=b=1$
Đáp án: $Min M=3$
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$\begin{split}M&=a^2+b^2+\dfrac{1}{ab}\\&=\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{1}{ab}\\&\ge\dfrac{(a+b)^2}{4}+\dfrac{2ab}{2}+\dfrac{1}{ab}\\&=1+ab+\dfrac{1}{ab}\ge 1+2\sqrt{ab.\dfrac{1}{ab}}\\&=3\end{split} $
Dấu = xảy ra: $x=y=1$