Toán cho`a;b>0` và `ab=1` tìm `min E=(a+b+2)(a^3+b^3)+4/(a^2+b^2)` 02/10/2021 By Audrey cho`a;b>0` và `ab=1` tìm `min E=(a+b+2)(a^3+b^3)+4/(a^2+b^2)`
Đáp án: Gía trị nhỏ nhất của E là 10 khi và chỉ khi a=b=1 Giải thích các bước giải: E xem thử đúng chưa nhé! Nếu đúng thì đánh giá giúp chị vs 🙂 Trả lời
Ta có: $a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2+b^2-ab)-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2≥0∀a;b>0$ $⇒a^3+b^3≥ab(a+b)$ hay $a^3+b^3≥a+b$ (do $ab=1$) $E=(a+b+2)(a^3+b^3)+\dfrac{4}{a^2+b^2}≥(a+b+2)(a+b)+\dfrac{4}{a^2+b^2}$ $=(a+b)^2+2(a+b)+\dfrac{4}{a^2+b^2}$ $=a^2+b^2+\dfrac{4}{a^2+b^2}+2ab+2.(a+b)$ $=a^2+b^2+\dfrac{4}{a^2+b^2}+2+2.(a+b)$ (do $ab=1$) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $a^2+b^2+\dfrac{4}{a^2+b^2}≥2.\sqrt[]{(a^2+b^2).\dfrac{4}{a^2+b^2}}=4$ $2(a+b)≥4.\sqrt[]{ab}=4(ab=1)$ $⇒E≥4+4+2=10$ Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=1$ Trả lời
Đáp án:
Gía trị nhỏ nhất của E là 10 khi và chỉ khi a=b=1
Giải thích các bước giải:
E xem thử đúng chưa nhé!
Nếu đúng thì đánh giá giúp chị vs 🙂
Ta có: $a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2+b^2-ab)-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2≥0∀a;b>0$
$⇒a^3+b^3≥ab(a+b)$
hay $a^3+b^3≥a+b$ (do $ab=1$)
$E=(a+b+2)(a^3+b^3)+\dfrac{4}{a^2+b^2}≥(a+b+2)(a+b)+\dfrac{4}{a^2+b^2}$
$=(a+b)^2+2(a+b)+\dfrac{4}{a^2+b^2}$
$=a^2+b^2+\dfrac{4}{a^2+b^2}+2ab+2.(a+b)$
$=a^2+b^2+\dfrac{4}{a^2+b^2}+2+2.(a+b)$ (do $ab=1$)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
$a^2+b^2+\dfrac{4}{a^2+b^2}≥2.\sqrt[]{(a^2+b^2).\dfrac{4}{a^2+b^2}}=4$
$2(a+b)≥4.\sqrt[]{ab}=4(ab=1)$
$⇒E≥4+4+2=10$
Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=1$