Cho `a+b ≤1`. Cmr: `1/(a^2+b^2)+1/(ab)+4ab ≥7`

0 bình luận về “Cho `a+b ≤1`. Cmr: `1/(a^2+b^2)+1/(ab)+4ab ≥7`”

1. Đáp án:

   Thiếu a,b dương

   Giải thích các bước giải:

   Đặt `A=1/(a^2+b^2)+1/(ab)+4ab`

   `=1/(a^2+b^2)+1/(2ab)+4ab+1/(4ab)+1/(4ab)`

   Áp dụng BĐT svacxơ

   `=>1/(a^2+b^2)+1/(2ab)>=4/(a+b)^2`

   Mà `a+b<=1`

   `=>(a+b)^2<=1`

   `=>1/(a^2+b^2)+1/(2ab)>=4`

   Áp dụng BĐT cosi

   `=>4ab+1/(4ab)>=2`

   `=>A>=4+2+1/(4ab)`

   `(a-b)^2>=0`

   `<=>a^2+b^2>=2ab`

   `<=>4ab<=(a+b)^2<=1`

   `=>1/(4ab)>=1`

   `=>A>=7(ĐPCM)`

   Dấu “=” xảy ra khi `a=b=1/2`

   Bình luận

2. Đáp án +Giải thích các bước giải:

   $ĐK : a > 0 ; b > 0 ; a + b \leq 1 $

   $\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{ab} + 4ab$

   $= \frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+\frac{1}{4ab} + 4ab$

   $= (\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab})+(4ab + \frac{1}{4ab})+\frac{1}{4ab}$

   $Áp$ $dụng$ $BĐT$ $Cauchy$ $với$ $2$ $số$ $dương$ $ta$ $có:$

   $\frac{1}{a² + b²}+ \frac{1}{2ab} \geq 2\sqrt{\frac{1}{(a² + b²)2ab}}$

   $→ \frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab} \geq 2.\frac{2}{a² + b² + 2ab} = \frac{4}{(a + b)²} $

   $→\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab} \geq 4$

   $4ab + \frac{1}{4ab} \geq 2.\sqrt{4ab.\frac{1}{4ab}} = 2$

   $4ab \leq (a + b)² → 4ab \leq 1 → \frac{1}{4ab} \geq 1$

   $Cộng$ $theo$ $vế$ $của$ $các$ $BĐT$ $trên$ $ta$ $được:$

   $(\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{2ab})+(4ab + \frac{1}{4ab})+\frac{1}{4ab} \geq 4 + 2 + 1$

   $hay$ $\frac{1}{a² + b²} + \frac{1}{ab} + 4ab \geq 7$

   $Dấu$ $”=”$ $xảy$ $ra$ $→a = b = \frac{1}{2}$

   Bình luận