Cho a ³+b ³=2016^2017. CMR a+b chia hết cho 3

0 bình luận về “Cho a ³+b ³=2016^2017. CMR a+b chia hết cho 3”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   $\begin{array}{l}
   {a^3} + {b^3}\\
    = \left( {{a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)} \right) – 3ab\left( {a + b} \right)\\
    = \left( {{a^3} + {b^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2}} \right) – 3ab\left( {a + b} \right)\\
    = \left( {{a^3} + {a^2}b + 2{a^2}b + 2a{b^2} + a{b^2} + {b^3}} \right) – 3ab\left( {a + b} \right)\\
    = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) – 3ab\left( {a + b} \right)\\
    = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + ab + ab + {b^2}} \right) – 3ab\left( {a + b} \right)\\
    = \left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) – 3ab\left( {a + b} \right)\\
    = {\left( {a + b} \right)^3} – 3ab\left( {a + b} \right)
   \end{array}$

   Mà lại có:

   $\begin{array}{l}
   {a^3} + {b^3} = {2016^{2017}}\\
    \Rightarrow \left( {{a^3} + {b^3}} \right) \vdots 3\left( {Do:2016 \vdots 3} \right)
   \end{array}$

   Như vậy:

   $\begin{array}{l}
   {a^3} + {b^3} \vdots 3\\
    \Leftrightarrow \left( {{{\left( {a + b} \right)}^3} – 3ab\left( {a + b} \right)} \right) \vdots 3\\
    \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} \vdots 3\left( \text{Do 3 là số nguyên tố}\right)\\
    \Leftrightarrow a + b \vdots 3
   \end{array}$

   Ta có điều phải chứng minh.

   Bình luận