Toán cho a+b bằng 1 tìm giá trị nhỏ nhất của a3+b3+ab 23/11/2021 By Genesis cho a+b bằng 1 tìm giá trị nhỏ nhất của a3+b3+ab
$a^3 + b^3 +ab = (a+b) ( a^2 – ab + b^2 ) +ab$ = $ a^2 – ab + b^2 + ab $ = $ a^2 + b^ 2 $ = $(a+b)^2 – 2ab$ $= 1 – 2ab$ Ta có bđt phụ sau $(a+b)^2 \geq 4ab $ * Chứng minh bất đẳng thức phụ : $(a+b)^2 \geq 4ab $ <=> $a^2 + 2ab + b^2 – 4ab \geq 0$ <=> $a^2 – 2ab + b^2 \geq 0$ <=> $(a – b)^2 \geq 0$ => bđt phụ được chứng minh $(a+b)^2 \geq 4ab $ => $\frac{(a+b)^2}{2}$ $\geq$ $2ab$ +) Áp dụng, ta có $2ab$ $\leq$ $\frac{(a+b)^2}{2}$ = $\frac{1}{2} $ => $1 – 2ab$ $\geq$ $\frac{1}{2} $ => A $\geq$ $\frac{1}{2} $ Vậy GTNN của A là $\frac{1}{2} $ , đạt được khi $a = b =$ $\frac{1}{2} $ Trả lời
Ta có : $a^3+b^3+ab$ $ = (a+b).(a^2-ab+b^2) + ab $ $ = 1.(a^2-ab+b^2)+ab$ ( Do $a+b=1$ ) $ = a^2-ab+b^2+ab$ $ = a^2+b^2$ Vì $(a-b)^2 ≥0$ $⇔a^2+b^2≥2ab$ $⇔2.(a^2+b^2) ≥(a+b)^2$ $⇔a^2+b^2 ≥ \dfrac{(a+b)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=\dfrac{1}{2}$ Vậy $a^3+b^3+ab$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{1}{2}$ tại $a=b=\dfrac{1}{2}$ Trả lời
$a^3 + b^3 +ab = (a+b) ( a^2 – ab + b^2 ) +ab$
= $ a^2 – ab + b^2 + ab $
= $ a^2 + b^ 2 $ = $(a+b)^2 – 2ab$ $= 1 – 2ab$
Ta có bđt phụ sau
$(a+b)^2 \geq 4ab $
* Chứng minh bất đẳng thức phụ :
$(a+b)^2 \geq 4ab $
<=> $a^2 + 2ab + b^2 – 4ab \geq 0$
<=> $a^2 – 2ab + b^2 \geq 0$
<=> $(a – b)^2 \geq 0$
=> bđt phụ được chứng minh
$(a+b)^2 \geq 4ab $ => $\frac{(a+b)^2}{2}$ $\geq$ $2ab$
+) Áp dụng, ta có
$2ab$ $\leq$ $\frac{(a+b)^2}{2}$
= $\frac{1}{2} $
=> $1 – 2ab$ $\geq$ $\frac{1}{2} $
=> A $\geq$ $\frac{1}{2} $
Vậy GTNN của A là $\frac{1}{2} $ , đạt được khi $a = b =$ $\frac{1}{2} $
Ta có :
$a^3+b^3+ab$
$ = (a+b).(a^2-ab+b^2) + ab $
$ = 1.(a^2-ab+b^2)+ab$ ( Do $a+b=1$ )
$ = a^2-ab+b^2+ab$
$ = a^2+b^2$
Vì $(a-b)^2 ≥0$
$⇔a^2+b^2≥2ab$
$⇔2.(a^2+b^2) ≥(a+b)^2$
$⇔a^2+b^2 ≥ \dfrac{(a+b)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=\dfrac{1}{2}$
Vậy $a^3+b^3+ab$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{1}{2}$ tại $a=b=\dfrac{1}{2}$