Cho $a;b;c >0$ $a+b+c=1$ Tìm GTLN của $A=$`(ab)/(c+1)+(bc)/(a+1)+(ac)/(b+1)` Suy nghĩ đầu iên của tôi: Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=$`1/3` `=> A ≤ 1/

0 bình luận về “Cho $a;b;c >0$ $a+b+c=1$ Tìm GTLN của $A=$`(ab)/(c+1)+(bc)/(a+1)+(ac)/(b+1)` Suy nghĩ đầu iên của tôi: Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=$`1/3` `=> A ≤ 1/”

1. `a;b;c>0;a+b+c=1`

   Với mọi `a;b;c>0`, ta có:

   `\qquad (a+b)^2\ge 4ab`

   `<=>a+b\ge {4ab}/{a+b}`

   `<=>1/{a+b}\le 1/ 4 {a+b}/{ab}` 

   `<=>1/{a+b}\le 1/ 4 (1/ a+1/ b)`$(1)$

   $\\$

   Áp dụng $(1)$; ta có:

   `{ab}/{c+1}=ab. 1/{c+a+b+c}`

   `\le ab. 1/ 4 .(1/{c+a}+1/{b+c})`

   $\\$

   `{bc}/{a+1}=bc. 1/{a+a+b+c}`

   `=bc. 1/{a+b+c+a}`

   `\le bc. 1/ 4 (1/{a+b}+1/{c+a})`

   $\\$

   `{ac}/{b+1}=ac. 1/{b+a+b+c}`

   `\le ac. 1/ 4 (1/{a+b}+1/{b+c})`

   $\\$

   `\qquad A={ab}/{c+1}+{bc}/{a+1}+{ac}/{b+1}`

   `=>A\le 1/ 4 ({ab}/{c+a}+{ab}/{b+c}+{bc}/{a+b}+{bc}/{c+a}+{ac}/{a+b}+{ac}/{b+c})`

   `=>A\le 1/ 4 . ({ab+bc}/{c+a}+{ab+ac}/{b+c}+{bc+ac}/{a+b})`

   `=>A\le 1/ 4 [{b(a+c)}/{a+c}+{a(b+c)}/{b+c}+{c(a+b)}/{a+b}]`

   `=>A\le 1/ 4 (b+a+c)=1/ 4 .1=1/ 4`

   Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=1/ 3`

   Vậy $GTLN$ của $A$ là `1/ 4` khi `a=b=c=1/ 3`

   Bình luận