cho a,b,c>0 a+b+c=3; tìm min: M=(a/b ²+1) + (b/c ²+1) + (c/a ²+1)

0 bình luận về “cho a,b,c>0 a+b+c=3; tìm min: M=(a/b ²+1) + (b/c ²+1) + (c/a ²+1)”

1. Đáp án: $M\ge \dfrac32$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:
   $\dfrac{a}{b^2+1}=\dfrac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}(1)$

   Tương tự:

   $\dfrac{b}{c^2+1}\ge b-\dfrac{bc}{2}(2)$

   $\dfrac{c}{a^2+1}\ge c-\dfrac{ca}{2}(3)$

   Cộng vế với vế của $(1), (2), (3)$

   $\to M\ge (a+b+c)-\dfrac12(ab+bc+ca)$

   $\to M\ge (a+b+c)-\dfrac12\cdot \dfrac13(a+b+c)^2$

   $\to M\ge 3-\dfrac12\cdot \dfrac13\cdot 3^2$

   $\to M\ge \dfrac32$

   Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

   Bình luận

2. Cách giải:Dùng phương pháp “Cosi ngược dấu” và dự đoán dấu “=” xảy ra tại a=b=c=1

   $+)\dfrac{a}{b^2+1}$

   $=\dfrac{ab^2+a-ab^2}{b^2+1}$

   $=\dfrac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}$

   $=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}$

   Áp dụng BĐT cosi ta có:

   $b^2+1 \geq 2b$

   $\to \dfrac{ab^2}{b^2+1} \leq \dfrac{ab}{2}$

   $\to a-\dfrac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\dfrac{ab}{2}$

   Hoàn toàn tương tự:

   $\dfrac{b}{c^2+1} \geq b-\dfrac{bc}{2}$

   $\dfrac{c}{a^2+1} \geq c-\dfrac{ac}{2}$

   $\to M \geq a+b+c-(\dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ac}{2})$

   Với mọi số thực ta luôn có:

   $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$

   $\to 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)$

   $\to ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$

   $\to 3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2=9$

   $\to ab+bc+ca \leq 3$

   $\to \dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ac}{2} \leq \dfrac{3}{2}$

   $\to M \geq 3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$

   Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$(đúng như dự đoán)

   Bình luận