Cho a,b,c>0 : abc=1 . Chứng minh rằng :1/(a+b+1)+1/(b+c+1)+1/(c+a+1)≤1

0 bình luận về “Cho a,b,c>0 : abc=1 . Chứng minh rằng :1/(a+b+1)+1/(b+c+1)+1/(c+a+1)≤1”

1. Giả sử $\frac{1}{a+b+1}$+$\frac{1}{b+c+1}$+$\frac{1}{c+a+1}$ ≤ 1

   ⇔ ( b+c+1).( c+a+1) +( a+b+1).( c+a+1)+( a+b+1).( b+c+1) ≤ ( a+b+1).( b+c+1).( c+a+1)

   ⇔ ( b+c).( c+a)+c+a+1+b+c+1+( a+b).( c+a)+a+b+1+c+a+1+( a+b).( b+c)+b+c+1+a+b+1

   ≤ ( a+b).( b+c).( c+a)+( b+c).( c+a)+( a+b).( c+a)+( a+b).( b+c)+a+b+b+c+c+a+1

   ⇔ 2+2a+2b+2c ≤ ( a+b).( b+c).( c+a)

   ⇔ 2+2.( a+b+c) ≤ ( abc+a²b+ac²+a²c+b²c+b²a+bc²+abc)

   ⇔ 2+2.( a+b+c) ≤ abc+a²b+ab²+abc+b²c+bc²+abc+a²c+ac²-abc

   ⇔ 2+2.( a+b+c) ≤ ab.( a+b+c)+bc.( a+b+c)+ac.( a+b+c)-1

   ⇔ 3+2.( a+b+c) ≤ ( a+b+c).( ab+bc+ac)

   ⇔ 3 ≤ ( a+b+c).( ab+bc+ac-2) (*)

   Áp dụng bất đẳng thức cô-sy ta có:

   a+b+c ≥ 3.$\sqrt[3]{abc}$ = 3

   ab+bc+ac ≥ 3.$\sqrt[]{a²b²c²}$=3

   Xét vế phải ta có: ( a+b+c).( ab+bc+ac-2) ≥ 3.( 3-2) = 3 = Vế trái

   Vì vậy (*) luôn đúng, do đó điều giả sử đúng

   Dấu ”=” xảy ra khia a=b=c=1

   Bình luận

2. 1/(a+b+1) + 1/(b+c+1) + 1/(c+a+1) ≤ 1 

   <=> (a+b+1)(b+c+1) + (b+c+1)(c+a+1) + (c+a+1)(a+b+1) ≤ (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) 

   <=> (a+b)(b+c)+a+b+b+c+1 + (b+c)(c+a)+b+c+c+a+1 + (c+a)(a+b)+c+a+a+b+1 ≤ (a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b) +a+b+b+c+c+a+1 

   <=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b)(b+c)(c+a) 

   <=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca) – abc 

   <=> 3 ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca-2) 

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 

   (a+b+c)(ab+bc+ca-2) ≥ 3.³√(abc) .[3³√(ab.bc.ca) -2] = 3 

   => đpcm 

   Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

    

   Bình luận