Cho a,b,c >0. C/m $\frac{a^{2}}{b+c}$+$\frac{b^{2}}{a+c}$+$\frac{c^{2}}{a+b}$$\geq$ $\frac{a+b+c}{2}$ 17/07/2021 Bởi Bella Cho a,b,c >0. C/m $\frac{a^{2}}{b+c}$+$\frac{b^{2}}{a+c}$+$\frac{c^{2}}{a+b}$$\geq$ $\frac{a+b+c}{2}$
Đáp án: Giải thích các bước giải: Cách `1` Chứng minh BĐT phụ `a_1^2/b_1 +a_2^2/b_2>=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2) (b_1,b_2>0)` `<=>(a_1^2 b_2 +a_2^2 b_1)/(b_1b_2)>=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2)` `<=>(a_1^2 b_2 +a_2^2 b_1)(b_1+b_2)>=(a_1+a_2)^2 b_1b_2` `<=>a_1^2 b_2^2 +a_2^2+b_1^2 +a_1^2 b_1b_2+a_2^2 b_1b_2 >=a_1^2 b_1b_2+a_2^2 b_1b_2 +2a_1a_2b_1b_2` `<=>(a_1b_2)^2 +(a_2b_1)^2>=2a_1a_2b_1b_2` `<=>(a_1b_2)^2 -2a_1a_2b_1b_2+(a_2b_1)^2>=0` `<=>(a_1b_2-a_2b_1)^2>=0` Dấu `=` xảy ra `<=>a_1/b_1=a_2/b_2` `=>a_1^2/b_1 +a_2^2/b_2+a_3^2/b_3 >=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2) +a_3^2/b_3 >=(a_1+a_2+a_3)^2/(b_1+b_2+b_3)` `ĐK:b_1,b_2,b_3>0` Dấu `=` xảy ra `<=>a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3` Áp dụng: Do `a,b,c>0` `=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)^2/[(b+c)+(c+a)+(a+b)]` `=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)^2/[2(a+b+c)]` `=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2` Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c` Cách `2` Do `a,b,c>0` ,Áp dụng BĐT Co-si `a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=2\sqrt{a^2/(b+c) .(b+c)/4} ` `a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=2 . a/2` `a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=a` Tương tự `b^2/(c+a) +(c+a)/4 >=b; c^2/(a+b) +(a+b)/4 >=c` `=>a^2/(b+c) +(b+c)/4 +b^2/(c+a) +(c+a)/4 + c^2/(a+b) +(a+b)/4>=a+b+c` `=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b) +(a+b+c)/2 >=a+b+c` `=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2` Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c` Bình luận
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được: $\quad \dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b} = \dfrac{a+b+c}{2}$ Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Cách `1`
Chứng minh BĐT phụ
`a_1^2/b_1 +a_2^2/b_2>=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2) (b_1,b_2>0)`
`<=>(a_1^2 b_2 +a_2^2 b_1)/(b_1b_2)>=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2)`
`<=>(a_1^2 b_2 +a_2^2 b_1)(b_1+b_2)>=(a_1+a_2)^2 b_1b_2`
`<=>a_1^2 b_2^2 +a_2^2+b_1^2 +a_1^2 b_1b_2+a_2^2 b_1b_2 >=a_1^2 b_1b_2+a_2^2 b_1b_2 +2a_1a_2b_1b_2`
`<=>(a_1b_2)^2 +(a_2b_1)^2>=2a_1a_2b_1b_2`
`<=>(a_1b_2)^2 -2a_1a_2b_1b_2+(a_2b_1)^2>=0`
`<=>(a_1b_2-a_2b_1)^2>=0`
Dấu `=` xảy ra `<=>a_1/b_1=a_2/b_2`
`=>a_1^2/b_1 +a_2^2/b_2+a_3^2/b_3 >=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2) +a_3^2/b_3 >=(a_1+a_2+a_3)^2/(b_1+b_2+b_3)`
`ĐK:b_1,b_2,b_3>0`
Dấu `=` xảy ra `<=>a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3`
Áp dụng: Do `a,b,c>0`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)^2/[(b+c)+(c+a)+(a+b)]`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)^2/[2(a+b+c)]`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
Cách `2`
Do `a,b,c>0` ,Áp dụng BĐT Co-si
`a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=2\sqrt{a^2/(b+c) .(b+c)/4} `
`a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=2 . a/2`
`a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=a`
Tương tự
`b^2/(c+a) +(c+a)/4 >=b; c^2/(a+b) +(a+b)/4 >=c`
`=>a^2/(b+c) +(b+c)/4 +b^2/(c+a) +(c+a)/4 + c^2/(a+b) +(a+b)/4>=a+b+c`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b) +(a+b+c)/2 >=a+b+c`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\quad \dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b} = \dfrac{a+b+c}{2}$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$