Cho a,b,c >0. C/m $\frac{a^{2}}{b+c}$+$\frac{b^{2}}{a+c}$+$\frac{c^{2}}{a+b}$$\geq$ $\frac{a+b+c}{2}$
Cho a,b,c >0. C/m $\frac{a^{2}}{b+c}$+$\frac{b^{2}}{a+c}$+$\frac{c^{2}}{a+b}$$\geq$ $\frac{a+b+c}{2}$
By Bella
By Bella
Cho a,b,c >0. C/m $\frac{a^{2}}{b+c}$+$\frac{b^{2}}{a+c}$+$\frac{c^{2}}{a+b}$$\geq$ $\frac{a+b+c}{2}$
Phụ huynh gặp khó khăn cân bằng công việc và dạy con chương trình mới. Hãy để dịch vụ gia sư của chúng tôi giúp bạn giảm bớt áp lực, cung cấp kiến thức chuyên sâu và hỗ trợ con bạn học tập hiệu quả.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Cách `1`
Chứng minh BĐT phụ
`a_1^2/b_1 +a_2^2/b_2>=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2) (b_1,b_2>0)`
`<=>(a_1^2 b_2 +a_2^2 b_1)/(b_1b_2)>=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2)`
`<=>(a_1^2 b_2 +a_2^2 b_1)(b_1+b_2)>=(a_1+a_2)^2 b_1b_2`
`<=>a_1^2 b_2^2 +a_2^2+b_1^2 +a_1^2 b_1b_2+a_2^2 b_1b_2 >=a_1^2 b_1b_2+a_2^2 b_1b_2 +2a_1a_2b_1b_2`
`<=>(a_1b_2)^2 +(a_2b_1)^2>=2a_1a_2b_1b_2`
`<=>(a_1b_2)^2 -2a_1a_2b_1b_2+(a_2b_1)^2>=0`
`<=>(a_1b_2-a_2b_1)^2>=0`
Dấu `=` xảy ra `<=>a_1/b_1=a_2/b_2`
`=>a_1^2/b_1 +a_2^2/b_2+a_3^2/b_3 >=(a_1+a_2)^2/(b_1+b_2) +a_3^2/b_3 >=(a_1+a_2+a_3)^2/(b_1+b_2+b_3)`
`ĐK:b_1,b_2,b_3>0`
Dấu `=` xảy ra `<=>a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3`
Áp dụng: Do `a,b,c>0`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)^2/[(b+c)+(c+a)+(a+b)]`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)^2/[2(a+b+c)]`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
Cách `2`
Do `a,b,c>0` ,Áp dụng BĐT Co-si
`a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=2\sqrt{a^2/(b+c) .(b+c)/4} `
`a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=2 . a/2`
`a^2/(b+c) +(b+c)/4 >=a`
Tương tự
`b^2/(c+a) +(c+a)/4 >=b; c^2/(a+b) +(a+b)/4 >=c`
`=>a^2/(b+c) +(b+c)/4 +b^2/(c+a) +(c+a)/4 + c^2/(a+b) +(a+b)/4>=a+b+c`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b) +(a+b+c)/2 >=a+b+c`
`=>a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\quad \dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b} = \dfrac{a+b+c}{2}$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$