Cho a+b+c = 0. Chứng minh a^4 + b^4 + c^4 Bằng mỗi biểu thúc:
(a ² + b ² + c ²) ²/2
Cho a+b+c = 0. Chứng minh a^4 + b^4 + c^4 Bằng mỗi biểu thúc: (a ² + b ² + c ²) ²/2
By Savannah
By Savannah
Cho a+b+c = 0. Chứng minh a^4 + b^4 + c^4 Bằng mỗi biểu thúc:
(a ² + b ² + c ²) ²/2
Đáp án + giải thích các bước giải:
`a+b+c=0`
`->(a+b+c)^2=0`
`->a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0`
`->a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)`
`->(a^2+b^2+c^2)^2=4(ab+bc+ca)^2 `
`->(a^2+b^2+c^2)^2/2=2(ab+bc+ca)^2`
`->(a^2+b^2+c^2)^2/2=2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2(ab^2c+bc^2a+a^2bc)]`
`->(a^2+b^2+c^2)^2/2=2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c)]`
`->(a^2+b^2+c^2)^2/2=2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]`
Ta có:
`(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2] `
`->(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+(a^2+b^2+c^2)^2/2`
`->a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)/2`
`a+b+c=0`
`⇔(a+b+c)^2=0`
`⇔a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=0`
`⇔ab+cb+ac=-(a^2+b^2+c^2)/2`
`⇔a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2+2abc(a+b+c)=(a^2+b^2+c^2)^2/4`
`⇔a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2=(a^2+b^2+c^2)^2/4`
`⇔4(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)=(a^2+b^2+c^2)^2`
`⇔x^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)=4(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)`
`⇔x^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)`
`⇔2(x^4+b^4+c^4)=4(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)=(a^2+b^2+c^2)^2`
`⇔(x^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2/2`