cho a,b,c>0 chứng minh:$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ +$\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}$ +$\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}$ $\geq$ $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ sử dụng bđt sv

0 bình luận về “cho a,b,c>0 chứng minh:$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ +$\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}$ +$\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}$ $\geq$ $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ sử dụng bđt sv”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}$

   $=\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^4}{c^3+c^2a+ca^2}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+c^2a+ca^2}$

   $=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^3+ab^2+c^2a)+(a^2b+b^3+bc^2)+(bc^2+c^3+ca^2)}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(a^2+b^2+c^2)+b(a^2+b^2+c^2)+c(a^2+b^2+c^2)}$

   $=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}$

   $=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ 

   Dấu `=` xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

   Trả lời

2. $\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2} $

   $ = \dfrac{a^4}{a^3 +a^2b +ab^2} + \dfrac{b^4}{b^3+ b^2c +bc^2} + \dfrac{c^4}{c^3 +ac^2 +a^2c}$

   $ \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3 +a^2b + ab^2 + b^3+b^2c +bc^2 + c^3 +ac^2 +a^2c}$

   $ = \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(a^2+b^2+c^2) + b(a^2+b^2+c^2) + c(a^2+b^2+c^2)}$

   $ = \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ (đpcm)

   Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$

    

   Trả lời