Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng `a/(3a^2 + 2b^2 + c^2) + b/(3b^2+2c^2+a^2) + c/(3c^2 + 2a^2 + b^2) le 1/6(1/a+1/b+1/c)`

0 bình luận về “Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng `a/(3a^2 + 2b^2 + c^2) + b/(3b^2+2c^2+a^2) + c/(3c^2 + 2a^2 + b^2) le 1/6(1/a+1/b+1/c)`”

1. Đáp án+Giải thích các bước giải:

   Sử dụng bất đẳng thức `AM-GM` với `a,b,c >0` ta có:

   `(18a)/(3a^2 + 2b^2 + c^2) = (18a)/(2(a^2 + b^2)+ a^2 + c^2) le (18a)/(2*2sqrt((ab)^2)+ 2sqrt((ab)^2))= (18a)/(4ab+2ac)`

   `(18a)/(3a^2+2b^2+c^2) le (18a)/(4ab+2ac) = (18a)/(2a(2b+c)) = (9)/(2b+c)`

   Áp dụng bất đẳng thức `Cauchy Schwarz a^2/x + b^2/y ge (a+b)^2/(x+y)`

   Ta có:

   `(2+1)^2/(2b+c) le 4/(2b)+1/c= 2/b + 1/c`

   `=> (18a)/(3a^2 + 2b^2 + c^2) le (9)/(2b+c) = (2+1)^2/(2b+c) le 2/b+1/c`

   Tương tự:

   `(18b)/(3b^2 + 2c^2 + a^2)le 9/(2c + a) = (2+1)^2/(2c+a) le 2/c + 1/a`

   `(18c)/(3c^2 + 2a^2 + b^2) le 9/(2a + b) = (2+1)^2/(2a+b) le 2/a + 1/b`

   Cộng vế với vế của các bđt trên ta có:

   `(18a)/(3a^2 +2 b^2 + c^2) + (18b)/(3b^2 + 2c^2 + a^2) + (18c)/(3c^2 + 2a^2 + b^2) le 2/c + 1/a + 2/b + 1/c +2/a + 1/b`

   `<= > a/(3a^2 + 2b^2 + c^2) + b/(3b^2+2c^2+a^2) + c/(3c^2 + 2a^2 + b^2) le (3/a+3/b+3/c) : 18 = 1/6(1/a+1/b+1/c)`

    

   Bình luận