Toán Cho a,b,c > 0 CMR $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ $\geq$ $ab^{2} + bc^2 + ca^2$ 13/07/2021 By Kylie Cho a,b,c > 0 CMR $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ $\geq$ $ab^{2} + bc^2 + ca^2$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được: $a^3 + b^3 + b^3 \geq 3\sqrt[3]{a^3.b^3.b^3} = 3ab^2$ Tương tự ta được: $b^3 +c^3 + c^3 \geq 3bc^2$ $c^3 + a^3 + a^3 \geq 3ca^2$ Cộng vế theo vế ta được: $3(a^3 + b^3 +c^3) \geq 3(ab^2 + bc^2 + ca^2)$ $\Leftrightarrow a^3 +b^3 +c^3 \geq ab^2 + bc^2 + ca^2$ Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$ Trả lời
Đáp án: Giả sử `a ≥ b ≥ c > 0` Ta có : `a^3 + b^3 + c^3 – ab^2 – bc^2 – ca^2` `= (a^3 – ca^2) + (b^3 – ab^2) + (c^3 – bc^2)` `= a^2(a – c) + b^2(b – a) + c^2(c – b)` `= a^2(a – c) – b^2[(a – c) + (c – b)] + c^2(c – b)` `= a^2(a- c) – b^2(a – c) – b^2(c – b) + c^2(c – b)` `= (a – c)(a^2 – b^2) + (c – b)(c^2 – b^2)` Do `a ≥ c` `=> a – c ≥ 0` `a ≥ b` `=> a^2 ≥ b^2` `=> a^2 – b^2 ≥ 0` `=> (a – c)(a^2 – b^2) ≥ 0` Do `c ≤ b` `=> c – b ≤ 0` `c^2 ≤ b^2` `=> c^2 – b^2 ≤ 0` `=> (c – b)(c^2 – b^2) ≥ 0` `=> (a – c)(a^2 – b^2) + (c – b)(c^2 – b^2) ≥ 0` `=> đpcm` Giải thích các bước giải: Trả lời
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$a^3 + b^3 + b^3 \geq 3\sqrt[3]{a^3.b^3.b^3} = 3ab^2$
Tương tự ta được:
$b^3 +c^3 + c^3 \geq 3bc^2$
$c^3 + a^3 + a^3 \geq 3ca^2$
Cộng vế theo vế ta được:
$3(a^3 + b^3 +c^3) \geq 3(ab^2 + bc^2 + ca^2)$
$\Leftrightarrow a^3 +b^3 +c^3 \geq ab^2 + bc^2 + ca^2$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$
Đáp án:
Giả sử `a ≥ b ≥ c > 0`
Ta có :
`a^3 + b^3 + c^3 – ab^2 – bc^2 – ca^2`
`= (a^3 – ca^2) + (b^3 – ab^2) + (c^3 – bc^2)`
`= a^2(a – c) + b^2(b – a) + c^2(c – b)`
`= a^2(a – c) – b^2[(a – c) + (c – b)] + c^2(c – b)`
`= a^2(a- c) – b^2(a – c) – b^2(c – b) + c^2(c – b)`
`= (a – c)(a^2 – b^2) + (c – b)(c^2 – b^2)`
Do `a ≥ c`
`=> a – c ≥ 0`
`a ≥ b`
`=> a^2 ≥ b^2`
`=> a^2 – b^2 ≥ 0`
`=> (a – c)(a^2 – b^2) ≥ 0`
Do `c ≤ b`
`=> c – b ≤ 0`
`c^2 ≤ b^2`
`=> c^2 – b^2 ≤ 0`
`=> (c – b)(c^2 – b^2) ≥ 0`
`=> (a – c)(a^2 – b^2) + (c – b)(c^2 – b^2) ≥ 0`
`=> đpcm`
Giải thích các bước giải: